Forum "Integralrechnung" - Uneigentliche Integrale - Vorhilfe.de

Vorhilfe Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
	Hallo Gast! [ einloggen \| registrieren ]
	Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum

Forenbaum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation

Startseite...
Neuerdings beta neu
Forum...
vorwissen...
vorkurse...
Werkzeuge...
Nachhilfevermittlung beta...
Online-Spiele beta
Suchen
Verein...
Impressum

Das Projekt

Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.

Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.

Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.

Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".

Partnerseiten

Weitere Fächer:

Vorhilfe.de

FunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme

Forum "Integralrechnung" - Uneigentliche Integrale

Uneigentliche Integrale < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe

Ansicht:

[ geschachtelt ]

Forum "Integralrechnung" |

Alle Foren |

Forenbaum | Materialien

Uneigentliche Integrale: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	19:12 Mo 27.10.2008
Autor:	Mandy_90

Aufgabe

 Berechne die folgenden Integrale,sofern sie existieren !

a) [mm] \integral_{-\infty}^{-1}{(x^{2}+\bruch{1}{x^{3}}) dx}
 [/mm]

b) [mm] \integral_{-\infty}^{-1}{\bruch{2x^{4}-5}{x^{4}} dx}
 [/mm]

c) [mm] \integral_{2}^{-\infty}{\bruch{x}{(4+x^{2})^{2}} dx}
 [/mm]

Hallo^^

Ich hab mal diese Integrale berechnet,aber ich weiß nicht ob die so stimmen.
Wär lieb,wenn das jeamnd sie nachschauen könnte.

a) [mm] \integral_{-\infty}^{-1}{(x^{2}+\bruch{1}{x^{3}}) dx}=[\bruch{1}{3}x^{3}-\bruch{0.5}{(x^{2}}] [/mm]

[mm] =\bruch{1}{6}-\bruch{1}{3}k^{3}-\bruch{0.5}{(k^{2}} [/mm]

b) [mm] \integral_{-\infty}^{-1}{\bruch{2x^{4}-5}{x^{4}} dx} [/mm]

Ich kann ja das Integral aufteilen in [mm] \bruch{2x^{4}}{x^{4}}-\bruch{5}{x^{4}},dann [/mm] könnt ich also schreiben

[mm] \integral_{-\infty}^{-1}{ \bruch{2x^{4}}{x^{4}}-\bruch{5}{x^{4}} dx}=[2x+\bruch{\bruch{5}{3}}{x^{3}}] [/mm]

Ich bin mir nicht sicher,ob meine Stammfunktion so stimmt,aber ich hab mal mit der weitergerechnet und hab [mm] -\bruch{11}{3}-(-2k+\bruch{\bruch{5}{3}}{-k^{3}} [/mm] rausbekommen '?

c) [mm] \integral_{2}^{-\infty}{\bruch{x}{(4+x^{2})^{2}} dx}=[-\bruch{x}{4+x^{2}} [/mm]

[mm] =\bruch{-k}{4+k^{2}}+\bruch{1}{4} [/mm]

Vielen Dank für eure Hilfe

lg

Bezug

Uneigentliche Integrale: Korrekturen

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	20:00 Mo 27.10.2008
Autor:	Loddar

Hallo Mandy!

Bei allen Aufgaben musst Du doch noch die entsprechenden Grenzwertbetrachtungen [mm] $k\rightarrow-\infty$ [/mm] bzw. [mm] $k\rightarrow+\infty$ [/mm] durchführen.

> a) [mm]\integral_{-\infty}^{-1}{(x^{2}+\bruch{1}{x^{3}}) dx}=[\bruch{1}{3}x^{3}-\bruch{0.5}{(x^{2}}][/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{6}-\bruch{1}{3}k^{3}-\bruch{0.5}{(k^{2}}[/mm]

Vorzeichen überprüfen. Dann Grenzwertbetrachtung [mm] $k\rightarrow-\infty$ [/mm] ...

> b) [mm]\integral_{-\infty}^{-1}{\bruch{2x^{4}-5}{x^{4}} dx}[/mm]
>
> Ich kann ja das Integral aufteilen in
> [mm]\bruch{2x^{4}}{x^{4}}-\bruch{5}{x^{4}},dann[/mm] könnt ich also
> schreiben

> [mm]\integral_{-\infty}^{-1}{ \bruch{2x^{4}}{x^{4}}-\bruch{5}{x^{4}} dx}=[2x+\bruch{\bruch{5}{3}}{x^{3}}][/mm]

> Ich bin mir nicht sicher,ob meine Stammfunktion so
> stimmt,aber ich hab mal mit der weitergerechnet und hab
> [mm]-\bruch{11}{3}-(-2k+\bruch{\bruch{5}{3}}{-k^{3}}[/mm]
> rausbekommen '?

Und auch hier nun die Grenzwertbetrachtung ...


> c) [mm]\integral_{2}^{-\infty}{\bruch{x}{(4+x^{2})^{2}} dx}=[-\bruch{x}{4+x^{2}}[/mm]

Zur Ermittlung der Stammfunktion musst Du hier $z \ := \ [mm] 4+x^2$ [/mm] substituieren.

Gruß
Loddar

Bezug

Uneigentliche Integrale: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	20:29 Mo 27.10.2008
Autor:	Mandy_90

> Hallo Mandy!
>
>
> Bei allen Aufgaben musst Du doch noch die entsprechenden
> Grenzwertbetrachtungen [mm]k\rightarrow-\infty[/mm] bzw.
> [mm]k\rightarrow+\infty[/mm] durchführen.

Kann ich dann einfahc vor jedem "Rechnungsschritt" [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] bzw. [mm] -\infty [/mm] schreiben?

> > a) [mm]\integral_{-\infty}^{-1}{(x^{2}+\bruch{1}{x^{3}}) dx}=[\bruch{1}{3}x^{3}-\bruch{0.5}{(x^{2}}][/mm]
>
> >

> > [mm]=\bruch{1}{6}-\bruch{1}{3}k^{3}-\bruch{0.5}{(k^{2}}[/mm]
>
>

Vorzeichen überprüfen. Dann Grenzwertbetrachtung
> [mm]k\rightarrow-\infty[/mm] ...

Ich habs nochmal gerechnet und komme auf [mm] -\bruch{5}{6}+\bruch{1}{3}k^{3}-\bruch{0.5}{k^{2}} [/mm]

> > b) [mm]\integral_{-\infty}^{-1}{\bruch{2x^{4}-5}{x^{4}} dx}[/mm]
>
> >

> > Ich kann ja das Integral aufteilen in
> > [mm]\bruch{2x^{4}}{x^{4}}-\bruch{5}{x^{4}},dann[/mm] könnt ich also
> > schreiben
>
>

>
>
> > [mm]\integral_{-\infty}^{-1}{ \bruch{2x^{4}}{x^{4}}-\bruch{5}{x^{4}} dx}=[2x+\bruch{\bruch{5}{3}}{x^{3}}][/mm]
>
>

>
>
> > Ich bin mir nicht sicher,ob meine Stammfunktion so
> > stimmt,aber ich hab mal mit der weitergerechnet und hab
> > [mm]-\bruch{11}{3}-(-2k+\bruch{\bruch{5}{3}}{-k^{3}}[/mm]
> > rausbekommen '?
>
> Und auch hier nun die Grenzwertbetrachtung ...

[mm] \limes_{k\rightarrow-\infty} -\bruch{11}{3}-(-2k+\bruch{\bruch{5}{3}}{-k^{3}} [/mm]

> > c) [mm]\integral_{2}^{-\infty}{\bruch{x}{(4+x^{2})^{2}} dx}=[-\bruch{x}{4+x^{2}}[/mm]
>
>

Zur Ermittlung der Stammfunktion musst Du hier [mm]z \ := \ 4+x^2[/mm]
> substituieren.

Achso hier hab ich mich eben vertippt,das Integral lautet [mm] \integral_{2}^{\infty}{\bruch{x}{(4+x^{2})^{2}} dx} [/mm] und ich habs jetzt nochmal gerechnet.

[mm] z:=4+x^{2} [/mm]
[mm] \bruch{dz}{dx}=2x dx=\bruch{1}{2x} [/mm]

[mm] \bruch{x}{z^{2}}*\bruch{1}{2x} [/mm]

[mm] =\integral_{4}^{2k}{\bruch{1}{2z^{2}} dz}=[-\bruch{1}{2z}] [/mm]

[mm] =-\bruch{1}{4k}+\bruch{1}{8} [/mm] ?

Bezug

Uneigentliche Integrale: zu Aufgabe a.)

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	21:56 Mo 27.10.2008
Autor:	Loddar

Hallo Mandy!

> Kann ich dann einfahc vor jedem "Rechnungsschritt"
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] bzw. [mm]-\infty[/mm] schreiben?

Ja! Und dann natürlich auch die entsprechende Grenzwertberechnung durchführen ...

> Ich habs nochmal gerechnet und komme auf [mm]-\bruch{5}{6}+\bruch{1}{3}k^{3}-\bruch{0.5}{k^{2}}[/mm]

Ich erhalte:
[mm] $$-\bruch{5}{6}-\bruch{1}{3}*k^3+\bruch{1}{2*k^2} [/mm] \ [mm] \overset{k\rightarrow-\infty}{\longrightarrow} [/mm] \ ...$$

Gruß
Loddar

Bezug

Uneigentliche Integrale: zu Aufgabe b.)

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	22:00 Mo 27.10.2008
Autor:	Loddar

Hallo Mandy!

> [mm]\limes_{k\rightarrow-\infty} -\bruch{11}{3}-(-2k+\bruch{\bruch{5}{3}}{-k^{3}}[/mm]

$$... \ = \ [mm] \limes_{k\rightarrow-\infty}\left(-\bruch{11}{3}-2k-\bruch{5}{3k^3}\right) [/mm] \ = \ ...$$
Und, existiert dieser Grenzwert?

Gruß
Loddar

Bezug

Uneigentliche Integrale: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	22:23 Mo 27.10.2008
Autor:	Mandy_90

> Hallo Mandy!
>
>
> > [mm]\limes_{k\rightarrow-\infty} -\bruch{11}{3}-(-2k+\bruch{\bruch{5}{3}}{-k^{3}}[/mm]
>
>

>  [mm]... \ = \ \limes_{k\rightarrow-\infty}\left(-\bruch{11}{3}-2k-\bruch{5}{3k^3}\right) \ = \ ...[/mm]
>
> Und, existiert dieser Grenzwert?
>
>

hmmm,ich versteh irgendwie nicht wie du auf dieses Ergebnis kommst?
Kannst du mir das vielleicht zeigen?
Was genau bedeutet das denn ob ein Grenzwert existiert oder nicht?Ich weiß nicht genau,wie ich deine Frage beantworten soll...

Bezug

Uneigentliche Integrale: Rechenweg

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	22:40 Mo 27.10.2008
Autor:	Loddar

Hallo Mandy!

> hmmm,ich versteh irgendwie nicht wie du auf dieses Ergebnis kommst?

[mm] $$\integral_{-\infty}^{-1}{\bruch{2x^{4}-5}{x^4} \ dx}$$ [/mm]
$$= \ [mm] \limes_{k\rightarrow-\infty}\integral_{k}^{-1}{2-\bruch{5}{x^4} \ dx}$$ [/mm]
$$= \ [mm] \limes_{k\rightarrow-\infty}\left[ \ 2x+\bruch{5}{3x^3} \ \right]_{k}^{-1}$$ [/mm]
$$= \ [mm] \limes_{k\rightarrow-\infty}\left[ \ \left(2*(-1)+\bruch{5}{3*(-1)^3}\right)-\left(2k+\bruch{5}{3k^3}\right) \ \right]$$ [/mm]
$$= \ [mm] \limes_{k\rightarrow-\infty}\left[ \ -2-\bruch{5}{3}-2k-\bruch{5}{3k^3} \ \right]$$ [/mm]
$$= \ [mm] \limes_{k\rightarrow-\infty}\left[ \ -\bruch{11}{3}-2k-\bruch{5}{3k^3} \ \right]$$ [/mm]

> Was genau bedeutet das denn ob ein Grenzwert existiert
> oder nicht?

Gibt es für [mm] $k\rightarrow-\infty$ [/mm] einen konkreten Grenzwert; d.h. strebt dieser Grenzwert gegen eine bestimmte Zahl?

Gruß
Loddar

Bezug

Uneigentliche Integrale: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	22:51 Mo 27.10.2008
Autor:	Mandy_90

>
> [mm]= \ \limes_{k\rightarrow-\infty}\left[ \ -\bruch{11}{3}-2k-\bruch{5}{3k^3} \ \right][/mm]
>
> > Was genau bedeutet das denn ob ein Grenzwert existiert
> > oder nicht?
>
> Gibt es für [mm]k\rightarrow-\infty[/mm] einen konkrten Grenzwert;
> d.h. strebt dieser Grenzwert gegen eine bestimmte Zahl?
>

Ich würde sagen,dass er nicht gegen eine bestimmte Zahl strebt ?

Bezug

Uneigentliche Integrale: richtig

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	22:52 Mo 27.10.2008
Autor:	Loddar

Hallo Mandy!

Richtig!

Gruß
Loddar

Bezug

Uneigentliche Integrale: zu Aufgabe c.)

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	22:02 Mo 27.10.2008
Autor:	Loddar

Hallo Mandy!

> Achso hier hab ich mich eben vertippt,das Integral lautet
> [mm]\integral_{2}^{\infty}{\bruch{x}{(4+x^{2})^{2}} dx}[/mm] und ich
> habs jetzt nochmal gerechnet.
>
> [mm]z:=4+x^{2}[/mm]
>   [mm]\bruch{dz}{dx}=2x dx=\bruch{1}{2x}[/mm]
>
> [mm]\bruch{x}{z^{2}}*\bruch{1}{2x}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{4}^{2k}{\bruch{1}{2z^{2}} dz}=[-\bruch{1}{2z}][/mm]

Wie kommst Du auf diese neuen Integrationsgrenzen?

Und auch hier am Ende den Grenzwert bestimmen.

Gruß
Loddar

Bezug

Ansicht:

[ geschachtelt ]

Forum "Integralrechnung" |

Alle Foren |

Forenbaum | Materialien