Uneigentliche Integrale < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:13 Fr 21.08.2009 | | Autor: | hamma |
[mm] \integral_{-\infty}^{6}{ \bruch{1}{(4-x)^2}dx} [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{0}{ \bruch{1}{(4-x)^2}dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{4}{ \bruch{1}{(4-x)^2}dx} [/mm] + [mm] \integral_{4}^{6}{ \bruch{1}{(4-x)^2}dx}
[/mm]
servus, ich versteh noch nicht so viel über uneigentliche integrale und wollte fragen wieso hier der grenzwert null gesetzt wird...bei vier wird der grenzwert gesetzt weil die funktion dort eine polstelle hat,oder?
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> [mm]\integral_{-\infty}^{6}{ \bruch{1}{(4-x)^2}dx}[/mm] = [mm]\integral_{-\infty}^{0}{ \bruch{1}{(4-x)^2}dx}[/mm] + [mm]\integral_{0}^{4}{ \bruch{1}{(4-x)^2}dx}[/mm] + [mm]\integral_{4}^{6}{ \bruch{1}{(4-x)^2}dx}[/mm]
> ... wieso hier der grenzwert null gesetzt wird...bei vier wird der grenzwert gesetzt weil die funktion dort eine polstelle hat,oder?
Meinst du: Obere Grenze 0? Oder oberer Grenze 4? Das ist etwas anderes als der Grenzwert.
Ist die Aufgabe so angegeben? Eigentlich integriert man nicht über Definitionslücken (x=4) hinweg.
Gemeint sein könnte: Wenn das linke Integral existieren soll, dann müssen drei uneigentliche Integrale, nämlich die drei rechts existieren, also muss man diese untersuchen:
[mm]\integral_{-\infty}^{0}{ \bruch{1}{(4-x)^2}dx}[/mm] =[mm]\limes_{a \to -\infty}\integral_{a}^{0}{ \bruch{1}{(4-x)^2}dx}[/mm]
[mm]\integral_{0}^{4}{ \bruch{1}{(4-x)^2}dx}[/mm] = [mm]\limes_{b \to 4}\integral_{0}^{b}{ \bruch{1}{(4-x)^2}dx}[/mm]
[mm]\integral_{4}^{6}{ \bruch{1}{(4-x)^2}dx}[/mm] = [mm]\limes_{c \to 4}\integral_{c}^{6}{ \bruch{1}{(4-x)^2}dx}[/mm]
Gruß, MatheOldie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Fr 21.08.2009 | | Autor: | hamma |
danke für die hilfe, ich verstehe aber nicht, wieso die untere und obere grenze x=0 gesetzt wird. gibt es da bestimmte regel bei uneigentliche integrale weil im buch (lothar papula) finde ich nichts darüber wofür man die null als obere und untere grenze setzen sollte?...ich versteh auch nicht wieso an der stelle x=4 eine lücke sein sollte....für mich ist x=4 eine polstelle.ich wäre froh wenn mir jemand helfen könnte.
[mm] \integral_{-\infty}^{6}{ \bruch{1}{(4-x)^2}dx} [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{0}{ \bruch{1}{(4-x)^2}dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{4}{ \bruch{1}{(4-x)^2}dx} [/mm] + [mm] \integral_{4}^{6}{ \bruch{1}{(4-x)^2}dx}
[/mm]
[mm] \integral_{-\infty}^{6}{ \bruch{1}{(4-x)^2}dx} [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow-\infty} \integral_{t}^{0}{ \bruch{1}{(4-x)^2}dx} [/mm] + [mm] \limes_{s\rightarrow\ 4-}\integral_{0}^{s}{ \bruch{1}{(4-x)^2}dx} [/mm] + [mm] \limes_{r\rightarrow\ 4+}\integral_{r}^{6}{ \bruch{1}{(4-x)^2}dx}
[/mm]
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> danke für die hilfe, ich verstehe aber nicht, wieso die
> untere und obere grenze x=0 gesetzt wird. gibt es da
> bestimmte regel bei uneigentliche integrale weil im buch
> (lothar papula) finde ich nichts darüber wofür man die
> null als obere und untere grenze setzen sollte?...ich
> versteh auch nicht wieso an der stelle x=4 eine lücke
> sein sollte....für mich ist x=4 eine polstelle.ich wäre
> froh wenn mir jemand helfen könnte.
da du [mm] -\infty [/mm] als uneigentliche grenze hast und bei 4 eine polstelle ist (d.h. du müsstest wenn du es in einem integral machen wolltest 2 grenzwerte auf einmal zu betrachten nachher, wie und ob das geht sei mal dahingestellt)
deswegen unterbricht man hier WILLKÜRLICH zwischen [mm] -\infty [/mm] und der polstelle 4 (könnte statt 0 auch -1; 2; 3 ; [mm] \pi [/mm] sein) und kann dann für die 2 einzelnen integrale dann jeweils einmal den grenzwert betrachten
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{6}{ \bruch{1}{(4-x)^2}dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{-\infty}^{0}{ \bruch{1}{(4-x)^2}dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{0}^{4}{ \bruch{1}{(4-x)^2}dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{4}^{6}{ \bruch{1}{(4-x)^2}dx}[/mm]
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{6}{ \bruch{1}{(4-x)^2}dx}[/mm] =
> [mm]\limes_{t\rightarrow-\infty} \integral_{t}^{0}{ \bruch{1}{(4-x)^2}dx}[/mm]
> + [mm]\limes_{s\rightarrow\ 4-}\integral_{0}^{s}{ \bruch{1}{(4-x)^2}dx}[/mm]
> + [mm]\limes_{r\rightarrow\ 4+}\integral_{r}^{6}{ \bruch{1}{(4-x)^2}dx}[/mm]
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Fr 21.08.2009 | | Autor: | hamma |
danke,ich hab noch eine frage. wieso setzt man dann nicht gleich die obere und untere grenze von [mm] -\infty [/mm] bis 4- und von 4+ bis 6? gruß markus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 Fr 21.08.2009 | | Autor: | MatheOldie |
> ich versteh auch nicht wieso an der stelle x=4 eine lücke sein sollte....für mich ist x=4 eine polstelle.
Ja, stimmt. Aber eine Polstelle ist für die Funktion eine Defininitionslücke! Und über diese darf man nicht einfach hinwegintegrieren. Für manche Funktionen würde man dann beim Integrieren eine endliche Fläche unter dem Graphen erhalten, während der richtige Flächenwert über alle Maßen wächst.
Gruß, MatheOldie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:11 Fr 21.08.2009 | | Autor: | hamma |
ok,merci, habs mit der polstelle bzw. Lücke verstandenverstanden. hätte man aber nicht gleich von [mm] -\infty [/mm] bis4 und von 4 bis 6 integrieren können?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:16 Fr 21.08.2009 | | Autor: | MatheOldie |
Siehe Antwort von Fencheltee!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Fr 21.08.2009 | | Autor: | hamma |
ich kann das leider nicht nachvollziehen wie er das erklärt.
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Wenn -wie hier- die untere Grenze -oo ist, musst du sie zunächst durch a ersetzen und dann den Grenzwert für a->-oo berechnen
Wenn gleichzeitig die obere Grenze 4 eine Definitionslücke ist, musst du sie durch b ersetzen und dann den Grenzwert für b->4 berechnen.
Du hättest also 2 Grenzprozesse durchzuführen, weil dein Integral "doppelt uneigentlich" ist. Um das zu vermeiden, zerlegt man es in zwei uneigentliche Integrale, indem man zum Beispiel im ersten die obere Grenze 0, im zweiten die untere Grenze 0 wählt. (Die Wahl von 0 liefert häufig leicht auszuwertende Terme).
Die entscheidenden Untersuchungen finden dann jeweils nur an einer Grenze statt.
Gruß, MatheOldie (und ich bin jetzt weg ...)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:47 Fr 21.08.2009 | | Autor: | hamma |
danke für die mühe, ich habs jetzt verstanden (-:
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