Uneigentliche Integrale! < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 Fr 28.05.2004 | | Autor: | Robert |
So weiter gehts mit meiner nächsten Frage ;)
Ich soll das untenstehende uneigentliche Integral berechnen:
[mm] \int_{2}^{e} \ln(x^3-4*x^2+4*x)\, [/mm] dx
Leider fällt mir keine schöne Art ein, wie das ginge. Hat hier jemand einen Tip?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Fr 28.05.2004 | | Autor: | andreas |
hi
also ich würde das polynom im argument des ln's in linearfaktoren zerlegen - geht ja hier sogar über [m] \mathbb{R} [/m] nämlich - sofern ich mich nicht verrechnet habe:
[m] \int \ln(x^3 - 4x^2 + 4x) \, \text{d}x = \int \ln(x(x-2)^2)\, \text{d}x = \int \ln(x) + \ln((x-2)^2) \, \text{d}x = \int \ln(x) + 2\ln(x-2) \, \text{d}x [/m]
zu der funktion im integral lässt sich ja nun so halbwegs einfach eine stammfunktion finden. dann ja eben nur noch die grenzen einsetzen und die gernzwert betrachtung bei [m] x = 2 [/m] machen.
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Sa 29.05.2004 | | Autor: | Robert |
Mal eine dumme Frage:
Wie leite ich [mm]\ln(x-2)[/mm] auf?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Sa 29.05.2004 | | Autor: | andreas |
zu [m] \ln(ax+b) [/m] kannst du ganz einfach mittels partieller integration eine stammfunktion finden (ich schenk mir jetzt einfach mal jegliche integrationskonstanten):
[m] \int \ln(ax+b) \, \text{d}x = \int 1 \ln(ax+b) \, \text{d}x = x\ln(ax+b) - \int \dfrac{ax}{ax + b}\, \text{d}x = x\ln(ax+b) - \int 1 \, \text{d}x + \int \dfrac{b}{ax + b} \, \text{d}x = x\ln(ax+b) - x + \frac{b}{a} \ln(ax + b) [/m]
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:42 Mi 07.07.2004 | | Autor: | IF_ |
an der Gleichungskette ist mir der Schritt
[m]\int \dfrac{ax}{ax + b}\, \text{d}x = \int 1 \, \text{d}x + \int \dfrac{b}{ax + b} \text{d}x\ [/m] nicht klar geworden.
Der Rest geht gut durch. 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:54 Mi 07.07.2004 | | Autor: | Gnometech |
Achte aufs Vorzeichen! In der Original-Gleichung stand vor dem Integral ein Minus: d.h. die Gleichung lautete:
[mm] \int \frac{ax}{ax + b} dx = \int 1 dx - \int \frac{b}{ax + b} dx[/mm]
Das ist aber nicht so schwer, schließlich gilt doch:
[mm] \frac{ax}{ax + b} = \frac{ax + b - b}{ax + b} = 1 - \frac{b}{ax + b} [/mm]
Ich hoffe, das klärt die Frage. :)
Gnometech
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