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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:04 Fr 26.11.2010 | | Autor: | nhard |
| Aufgabe | Bestimmen sie den Wert folgender uneigentlicher Integrale
a) [mm] \integral_{1}^{\infty}{x^{-\bruch{1}{5}} dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{2}^{\infty}{\bruch{1}{x*(ln(x))^{2}} dx}
[/mm]
c) [mm] \integral_{0}^{\infty}{x*e^{ax^{2}} dx} [/mm] |
Mein Problem liegt hauptsächlich in der Bildung der Stammfunktionen.
Zu a) habe ich noch eine halbwegs richtige Lösung, glaube ich:
Die Stammfunktion ist [mm] $\bruch{5}{4}*x^{\bruch{4}{5}}$ [/mm] von 0 bis [mm] $\infty$.
[/mm]
Damit wäre doch:
[mm] $\limes_{b\rightarrow\infty}$ $\bruch{5}{4}b^\bruch{4}{5}$-$\bruch{5}{4}$
[/mm]
D.h. für $b [mm] \rightarrow \infty$ [/mm] wir der Flächeninhalt ebenfalls unendlich groß.
Wie gehe ich denn bei b) und c) vor? Ich weiß immer nich wie ich erkenne ob ich substituieren oder partiell ableiten soll. Habe beides bei Beiden versucht aber bin auf kein Ergebnis gekommen. Könnt ihr mir einen Ansatz geben?
lg,
nhard
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Hallo nhard,
> Bestimmen sie den Wert folgender uneigentlicher Integrale
>
> a) [mm]\integral_{1}^{\infty}{x^{-\bruch{1}{5}} dx}[/mm]
>
> b) [mm]\integral_{2}^{\infty}{\bruch{1}{x*(ln(x))^{2}} dx}[/mm]
>
> c) [mm]\integral_{0}^{\infty}{x*e^{ax^{2}} dx}[/mm]
> Mein Problem
> liegt hauptsächlich in der Bildung der Stammfunktionen.
>
> Zu a) habe ich noch eine halbwegs richtige Lösung, glaube
> ich:
>
> Die Stammfunktion ist [mm]\bruch{5}{4}*x^{\bruch{4}{5}}[/mm] von 0
> bis [mm]\infty[/mm].
>
> Damit wäre doch:
>
> [mm]\limes_{b\rightarrow\infty}[/mm]
> [mm]\bruch{5}{4}b^\bruch{4}{5}[/mm]-[mm]\bruch{5}{4}[/mm]
>
> D.h. für [mm]b \rightarrow \infty[/mm] wir der Flächeninhalt
> ebenfalls unendlich groß. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
>
> Wie gehe ich denn bei b) und c) vor? Ich weiß immer nich
> wie ich erkenne ob ich substituieren oder partiell ableiten
> soll. Habe beides bei Beiden versucht aber bin auf kein
> Ergebnis gekommen. Könnt ihr mir einen Ansatz geben?
Bei b) substituiere [mm] $u=u(x):=\ln(x)$
[/mm]
Bei c) substituiere [mm] $u=u(x):=ax^2$
[/mm]
Hier wird Konvergenz oder Divergenz des Integrals von $a$ abhängen ...
>
>
> lg,
> nhard
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:04 Fr 26.11.2010 | | Autor: | nhard |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
vielen Dank für deine Antwort!
Also meine Idee zu b):
$\integral_{2}^{\infty}{\bruch{1}{x*(ln(x))^{2}} dx}$
$\(u=u(x)=ln(x)$
$\bruch{du}{dx}=\bruch{1}{x}$
$\(dx=du*x$
Für mein Integral erhalte ich dann:
$\limes_{b\rightarrow\infty}$ $\integral_{ln(2)}^{b}{\bruch{1}{u^{2}} du}
Also $-\bruch{1}{u}}$ von $ln(2)$ bis $ln(b)$.
Da für $\limes_{x\rightarrow\infty}$ $ln(x)\rightarrow\infty$ ergibt sich:
$0-ln(ln(2))=0,367$
Der Flächeninhalt ist also 0,367FE. Stimmt das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:09 Fr 26.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> vielen Dank für deine Antwort!
>
> Also meine Idee zu b):
>
> [mm]\integral_{2}^{\infty}{\bruch{1}{x*(ln(x))^{2}} dx}[/mm]
>
> [mm]\(u=u(x)=ln(x)[/mm]
> [mm]\bruch{du}{dx}=\bruch{1}{x}[/mm]
> [mm]\(dx=du*x[/mm]
>
> Für mein Integral erhalte ich dann:
>
> [mm]$\limes_{b\rightarrow\infty}$ $\integral_{ln(2)}^{b}{\bruch{1}{u^{2}} du}[/mm]
>
> Also [mm]-\bruch{1}{u}}[/mm] von [mm]ln(2)[/mm] bis [mm]ln(b)[/mm].
>
> Da für [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] [mm]ln(x)\rightarrow\infty[/mm]
> ergibt sich:
>
> [mm]0-ln(ln(2))=0,367[/mm]
> Der Flächeninhalt ist also 0,367FE. Stimmt das?
Nein.
Das
[mm]-\bruch{1}{u}}[/mm] von [mm]ln(2)[/mm] bis [mm]ln(b)[/mm].
war noch richtig,
also: [mm] $-\bruch{1}{b}+\bruch{1}{ln(2)}
[/mm]
jetzt b [mm] \to \infty
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:20 Fr 26.11.2010 | | Autor: | nhard |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
hm, ich dachte ich müsste jetzt so Re-substituieren:
$\( u=ln(x)$
Und für $\(x$ dann jeweils $\(ln(2)$ und $\(ln(b)$?
Dann bekomme ich doch:
$-\bruch{1}{ln(ln(b))}+\bruch{1}{ln(ln(2))}$
-----
Okay,ich glaube ich habe meinen Fehler gefunden. Ich darf "u" an sich nicht mehr verändern, und setze nur noch die Grenzen ein. Also:
$-\bruch{1}{ln(b)}+\bruch{1}{ln(2)}$
wenn ich jetzt sage:
$\limes_{b\rightarrow\infty}$ $ln(b)\rightarrow \infty$
erhalte ich (weil ja $\(b \rightarrow\infty$) :
$-\bruch{1}{b}+\bruch{1}{ln(2)}}$
Da
$\limes_{b\rightarrow\infty}$ $\bruch{1}{b}\rightarrow 0$
ist mein Flächeninhalt:
$0+\bruch{1}{ln(2)}=\bruch{1}{ln(2)}$
Besser?
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Dann gleich noch mein Vorschlag für c):
$\integral_{0}^{\infty}{x*e^{a*x^{2}}dx}$
$u=u(x)=ax^2$
$\bruch{du}{dx}=2ax$
$dx=du*\bruch{1}{2ax}$
Ich erhalte:
Für $\limes_{b\rightarrow\infty}: $\integral_{0}^{a*b^2}{x*e^{u}*\bruch{1}{2ax}du}$
Also
$\integral_{0}^{a*b^2}{e^{u}*\bruch{1}{2a}du}
$=e^{ab^2}*\bruch{1}{2a}-1*\bruch{1}{2a}$
Falls $a<0$ und $\limes_{b\rightarrow\infty}$ gilt:
$e^{a*b^2}*\bruch{1}{2a}\rightarrow 0$
Der Flächeninhalt wäre somit $+\bruch{1}{2a}$
Falls a>0 existiert kein Grenzwert mehr für die Fläche.
Hoffe soweit alles korrekt?
vielen Dank für eure Hilfe!!
lg,
nhard
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Hallo,
ja, viel besser.
Wenn Du resubstituieren wolltest, müsstest Du natürlich auch die Grenzen wieder entsprechend ändern. Das Ergebnis bleibt allerdings das gleiche.
Grüße
reverend
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:55 Fr 26.11.2010 | | Autor: | nhard |
Okay, danke :)
Habe meine Lösung für c) auch noch in den selben post geschrieben.
Ist der soweit auch i.O.?
Vielen Dank!
lg
nhard
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Hallo nochmal,
das ist nicht so praktisch, wenn Du das Material zu einer neuen Frage in eine schon beantwortete hineineditierst und dann trotzdem noch eine weitere stellst...
Anyway.
> Dann gleich noch mein Vorschlag für c):
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{x*e^{a*x^{2}}dx}[/mm]
> [mm]u=u(x)=ax^2[/mm]
> [mm]\bruch{du}{dx}=2ax[/mm]
> [mm]dx=du*\bruch{1}{2ax}[/mm]
>
> Ich erhalte:
>
> Für [mm]\limes_{b\rightarrow\infty}: [/mm] [mm] \integral_{0}^{a*b^2}{x*e^{u}*\bruch{1}{2ax}du}
[/mm]
>
> Also
>
> [mm]$\integral_{0}^{a*b^2}{e^{u}*\bruch{1}{2a}du}[/mm]
> [mm]=e^{ab^2}*\bruch{1}{2a}-1*\bruch{1}{2a}[/mm]
>
> Falls [mm]a<0[/mm] und [mm]\limes_{b\rightarrow\infty}[/mm] gilt:
> [mm]e^{a*b^2}*\bruch{1}{2a}\rightarrow 0[/mm]
Hmm. Das ist nicht sauber geschrieben, aber in der Sache richtig.
> Der Flächeninhalt wäre somit [mm]+\bruch{1}{2a}[/mm]
War der Flächeninhalt oder der Wert des bestimmten Integrals gesucht?
> Falls a>0 existiert kein Grenzwert mehr für die Fläche.
Und was ist mit a=0? Gibts dazu auch schon Überlegungen?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Fr 26.11.2010 | | Autor: | nhard |
Sorry!
Dachte ich werde noch fertig bevor jemand eine Antwort schreibt..
Ich dachte es wäre übersichtlicher, die Frage nochmal zu editieren als 2 neue Fragen zu stellen, oder?
Für den Fall a=0 gibt es gar keine Lösung, weil dann der Nenner im Bruch 0 wird?
Mit dem Formalen habe ich immer so meine Schwierigkeit,
könntest du mir vielleicht kurz schreiben wie es richtig aussehen würde?
lieben Dank für deine tolle Hilfe! :)
lg,
nhard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Fr 26.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Sorry!
> Dachte ich werde noch fertig bevor jemand eine Antwort
> schreibt..
> Ich dachte es wäre übersichtlicher, die Frage nochmal zu
> editieren als 2 neue Fragen zu stellen, oder?
Prinzipiell ja, aber mehrere neue Aufgaben in einem Artikel innerhalb einer bestehenden Diskussion anzuhängen ist unpraktisch.
>
>
> Für den Fall a=0 gibt es gar keine Lösung, weil dann der
> Nenner im Bruch 0 wird?
Soweit okay. Aber betrachte dazu mal das Grundintegral, darf ich dort a=0 setzen?
>
> Mit dem Formalen habe ich immer so meine Schwierigkeit,
> könntest du mir vielleicht kurz schreiben wie es richtig
> aussehen würde?
Formal gesehen würde ich es in etwa so schreiben:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{x\cdot{}e^{a\cdot{}x^{2}}dx} [/mm]
[mm] =\limes_{b\to\infty}\integral_{b}^{\infty}{x\cdot{}e^{a\cdot{}x^{2}}dx} [/mm]
Eine Substitution mit[mm] u=u(x)\red{:=}ax^{2}[/mm]
und daraus folgenden [mm] \bruch{du}{dx}=2ax [/mm] sowie [mm] dx=du\cdot{}\bruch{1}{2ax} [/mm] ergibt:
[mm]\limes_{b\to\infty}\integral_{b}^{\infty}{x\cdot{}e^{a\cdot{}x^{2}}dx}[/mm]
[mm] =\limes_{b\to\infty}\integral_{0}^{a\cdot{}b^2}{x\cdot{}e^{u}\cdot{}\bruch{1}{2ax}du}[/mm]
[mm]=\ldots[/mm]
[mm]=\limes_{b\to\infty}\left(e^{ab^2}\cdot{}\bruch{1}{2a}-1\cdot{}\bruch{1}{2a}\right) [/mm]
[mm]=\limes_{b\to\infty}e^{ab^2}\cdot{}\bruch{1}{2a}-\limes_{b\to\infty}1\cdot{}\bruch{1}{2a} [/mm]
[mm]=\ldots[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Fr 26.11.2010 | | Autor: | nhard |
Vielen, vielen Dank für deine Ausführliche Antwort!!!
Mal wieder zu kurz gedacht für a=0...
Wenn ich das ins Grundintegral einsetze erhalte ich ja das Integral einer lineare Funktion [mm] ($\(f(x)=x&), [/mm] der Wert des Integrals wäre entsprechend unendlich groß.
Kann es mir aber ehrlich gesagt nicht recht erklären, warum es bei meinen Stammfunktionen nicht mehr so ist..:P
lg,
nhard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 Fr 26.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Vielen, vielen Dank für deine Ausführliche Antwort!!!
>
> Mal wieder zu kurz gedacht für a=0...
> Wenn ich das ins Grundintegral einsetze erhalte ich ja das
> Integral einer lineare Funktion [mm]($\(f(x)=x&),[/mm] der Wert des
> Integrals wäre entsprechend unendlich groß.
Korrekt
> Kann es mir aber ehrlich gesagt nicht recht erklären,
> warum es bei meinen Stammfunktionen nicht mehr so ist..:P
Naja, was ist denn [mm] $\limes_{q\to0}\bruch{1}{q}$? [/mm]
>
>
> lg,
> nhard
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Fr 26.11.2010 | | Autor: | nhard |
hm dann geht [mm] $\bruch{1}{q} \rightarrow [/mm] 1$?
Das jetzt analog auf meine x in der Stammfunktion übertragen?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:08 Fr 26.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> hm dann geht [mm]\bruch{1}{q} \rightarrow 1[/mm]?
Neeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee ! $ [mm] \limes_{q\to0}\bruch{1}{q} [/mm] = [mm] \infty$ [/mm]
FRED
>
> Das jetzt analog auf meine x in der Stammfunktion
> übertragen?
>
> lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:10 Fr 26.11.2010 | | Autor: | nhard |
autsch...natürlich
Ode an das anonyme Internet
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