Uneigentliche Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass das Integral [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \integral_{0}^{x}{cos(e^x)} [/mm] existiert. |
Hallo,
ich komm bei der Aufgabe einfach nicht weiter und würd mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte. Vielleicht reicht ja auch schon ein guter Tip :)
Vielen Dank!
***** Habe In der Aufgabenstellung sin durch cos erstetzt *******
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:20 Do 06.09.2012 | | Autor: | hippias |
Eine geeignete Substitution vereinfacht den Integranden zu [mm] $\frac{\sin z}{z}$ [/mm] .
|
|
|
| |
|
Hallo,
nutze die vorgeschlagene [mm] u:=e^{x} [/mm], dann vereinfacht sich dein Integral zu
[mm] \int_{1}^{\infty}\frac{\sin{u}}{u}\mathrm{d}u [/mm]. Der gegebene Integrand ist dann im Intervall [mm] [1,\infty) [/mm] stetig und für [mm] u\to\infty [/mm] ist [mm]\frac{\sin{u}}{u}\sim\frac{1}{u} [/mm].
Hilft Dir das ?
LG
|
|
|
| |
|
Hallo und danke euch beiden für die schnellen Antworten. Also:
[mm] \integral_{0}^{b}{ cos (e^x) } [/mm] = [mm] \integral_{1}^{e^b}{\bruch{ cos(z) }{ z } } [/mm]
Aber ich verstehe noch nicht ganz was mir die Information mit [mm] \bruch{1}{x} [/mm] bringt. Will ich das Integral damit abschätzen? Dann hab ich doch das Problem, dass [mm] \bruch{1}{x} [/mm] die Stammfunktion ln|x| + C hat und der ln divergiert doch für große x?
ps. ich hab mich bei der Aufgabenstellung verschrieben. Da muss cos statt sin stehen. ich hoffe das tut sich nicht viel. sorry
|
|
|
| |
|
Hallo CC,
> Hallo und danke euch beiden für die schnellen Antworten.
> Also:
>
>
> [mm]\integral_{0}^{b}{ cos (e^x) }[/mm] =
> [mm]\integral_{1}^{e^b}{\bruch{ cos(z) }{ z } }[/mm]
Naja, so ganz ohne Differentiale ist das wenig sinnvoll.
Mit der Substitution erhältst du
[mm]\int\limits_{1}^{\infty}{\frac{\cos(z)}{z} \ \red{dz}}[/mm]
>
> Aber ich verstehe noch nicht ganz was mir die Information
> mit [mm]\bruch{1}{x}[/mm] bringt. Will ich das Integral damit
> abschätzen? Dann hab ich doch das Problem, dass
> [mm]\bruch{1}{x}[/mm] die Stammfunktion ln|x| + C hat und der ln
> divergiert doch für große x?
Ja, das ist leider so, die Abschätzung des Betrags des Integrals durch das Integral von 1/z hilft also nix, eine divergente Majorante hilft wenig.
Da musst du dir was anderes überlegen.
Lasse dir den Integranden mal plotten ...
Überlege, wie das von Nullstelle zu Nullstelle aussieht.
Vllt. kannst du auch hier Infos ziehen:
http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_integral
oder hier
http://press.princeton.edu/books/maor/chapter_10.pdf
>
>
> ps. ich hab mich bei der Aufgabenstellung verschrieben. Da
> muss cos statt sin stehen. ich hoffe das tut sich nicht
> viel. sorry
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Die links waren interessant, haben mir aber nicht so viel geholfen weil ich sie nicht zu 100 % verstanden hab. Dein Tipp mit den Nullstellen hat mir sehr geholfen! Ich versuch mich mal:
[mm] \integral_{1}^{\infty}{ \bruch{sin(z)}{z}dz} [/mm] = [mm] \integral_{1 }^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{sin(z)}{z}dz} [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \integral_{\bruch{(2i-1)\pi}{2}}^{\bruch{(2i+1)\pi}{2}}{ \bruch{sin(z)}{z}dz} [/mm]
Die Reihe konvergiert nach dem Leibnizkriterium, denn
[mm] \limes_{i\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \integral_{\bruch{(2i-1)\pi}{2}}^{\bruch{(2i+1)\pi}{2}}{ \bruch{sin(z)}{z}dz}| \le \limes_{i\rightarrow\infty}\integral_{\bruch{(2i-1)\pi}{2}}^{\bruch{(2i+1)\pi}{2}}{ \bruch{1}{z}dz} [/mm] = [mm] \limes_{i\rightarrow\infty} ln\bruch{2i+1}{2i-1} [/mm] = 0
Da ln stetig ist. Fasst man das Integral als Fläche zwischen Graph und x-Achse auf, so sieht man das die Reihe alternierend ist. (Das geht bestimmt noch schöner)
Insgesamt existiert also das integral.
Ist das ok?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:59 Do 06.09.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
auf den plot zu verweisen für alternierend reicht natürlich nicht, aber sonst ist es richtig, also zeige das alternierend!
Gruss leduart
|
|
|
|
