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| Aufgabe | Untersuchen sie die folgenden uneigentlichen integrale auf Konvergenz:
[mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{sinx}{x^2}dx}, \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x}*sin(\bruch{1}{x})dx}, \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{x}} dx},\integral_{-1}^{1}{ \bruch{x}{\wurzel{1-x^2}}dx} [/mm] |
Könnt ihr mir bei den ersten zwei Integralen einen Tipp wie ist sie auf Konvergenz untersuchen kann. Meine Idee bei den ersten integral [mm] ist,sinx/x^2 [/mm] in [mm] \bruch{sinx}{x} [/mm] * [mm] \bruch{1}{x} [/mm] umzuschreiben!und dann würde ich bei der Konvergenz überprüfen. Nämlich [mm] \limes_{x\rightarrow\ 1} \bruch{sinx}{x} [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{sinx}{x},dasselbe [/mm] würde ich für 1/x auch machen. Ist das überhaupt richtig?
bei den letzten zwei habe ich folgenden Lösung: für das dritte integral konvergiert nicht,und das vierte konvergiert gegen 0. Stimmt das?
Ich bin für jede Hilfe dankbar.
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Hi,
> Untersuchen sie die folgenden uneigentlichen integrale auf
> Konvergenz:
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{\bruch{sinx}{x^2}dx}, \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x}*sin(\bruch{1}{x})dx}, \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{x}} dx},\integral_{-1}^{1}{ \bruch{x}{\wurzel{1-x^2}}dx}[/mm]
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> Könnt ihr mir bei den ersten zwei Integralen einen Tipp
> wie ist sie auf Konvergenz untersuchen kann. Meine Idee bei
> den ersten integral [mm]ist,sinx/x^2[/mm] in [mm]\bruch{sinx}{x}[/mm] *
> [mm]\bruch{1}{x}[/mm] umzuschreiben!und dann würde ich bei der
> Konvergenz überprüfen. Nämlich [mm]\limes_{x\rightarrow\ 1} \bruch{sinx}{x}[/mm]
> und [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{sinx}{x},dasselbe[/mm]
> würde ich für 1/x auch machen. Ist das überhaupt
> richtig?
Der Grenzwert der Integranden interessiert dich doch eigentlich gar nicht. Du musst schon mit den Konvergenzkriterien von Integralen arbeiten.
Für das erste Integral:
[mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{sinx}{x^2}dx}
[/mm]
Integriere das Biest erst einmal partiell. Dann sollte schon etwas deutlich bekannteres darstehen. Hinweis: Das Integral konvergiert. Damit weißt du schon einmal in welche Richtung du arbeiten musst.
Für das zweite Integral:
[mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x}\cdot{}sin(\bruch{1}{x})dx}
[/mm]
Hier hilft erst einmal eine Substitution. Welche würde sich deiner Meinung nach hier anbieten?
Für das dritte Integral:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{x}} dx}
[/mm]
Integriere einfach. Bedenke: [mm] \frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}. [/mm] Führe dann den Grenzübergang durch.
Für das vierte Integral:
[mm] \integral_{-1}^{1}{ \bruch{x}{\wurzel{1-x^2}}dx}
[/mm]
Auch hier ist eine Substitution sinnvoll. Bednke hier: [mm] 1=\sin^2x+\cos^2x
[/mm]
Damit findet sich schnell eine passende Substitution.
> bei den letzten zwei habe ich folgenden Lösung: für das
> dritte integral konvergiert nicht,und das vierte
> konvergiert gegen 0. Stimmt das?
>
> Ich bin für jede Hilfe dankbar.
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Danke für deine Antwort. Aber was stört mich grad ist das Integral von erste und der zweite. Ich denke für die zweite soll ich 1/x substituiere,aber wenn ich partielle integration mache,welche soll ich ableiten bzw.aufleiten? weil 1/x ableiten,macht kein sinn,und wenn die aufleiten bekomme ln(x),also ich bin einfach in dieser Stelle geblieben.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Di 01.04.2014 | | Autor: | abakus |
> Danke für deine Antwort. Aber was stört mich grad ist das
> Integral von erste und der zweite. Ich denke für die
> zweite soll ich 1/x substituiere,aber wenn ich partielle
> integration mache,welche soll ich ableiten bzw.aufleiten?
> weil 1/x ableiten,macht kein sinn,und wenn die aufleiten
> bekomme ln(x),also ich bin einfach in dieser Stelle
> geblieben.
Hallo,
der Tipp mit partieller Integration schickt dich auf einen unnötig aufwändigen Weg.
Ist dir klar, dass [mm]\integral_{1}^{\infty}{\bruch{sinx}{x^2}dx}<\integral_{1}^{\infty}{|\bruch{sinx}{x^2}|dx}<\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x^2}dx}[/mm] gilt?
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:23 Di 01.04.2014 | | Autor: | chloe.liu |
Aso,danke Abakus,jetzt habe ich verstanden! :D
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