www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Integration" - Uneigentliches Integral
Uneigentliches Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Uneigentliches Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:42 Mi 18.05.2016
Autor: mathephysik01

Aufgabe
Sei a [mm] \in \IR [/mm] und [mm] f:[a,\infty] [/mm] -> [mm] \IR [/mm] eine Funktion sodass f eingeschränkt auf [a,b] integrierbar ist für alle b>a.
Sei weiter
[mm] I_{n} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{n}{f(x) dx} [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] , n [mm] \ge [/mm] a.

Zu zeigen:
a) Existiert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} I_{n} [/mm] und ist [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = 0, dann existiert [mm] \integral_{a}^{\infty}{f(x) dx}. [/mm]
b) Kann auf die zweite Voraussetzung [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = 0 verzichtet werden?

Hallo zusammen,

mir fällt es sehr schwer einen Ansatz zu finden.
Die Behauptung scheint zunächst offensichtlich, aber ich denke der entscheidene Punkt ist, dass man weiß, dass es für alle natürlichen Integralgrenzen funktioniert und nun darauf schließen möchte, dass es auch für alle dazwischen funktioniert.
Habe mir schon alle möglichen Sätze durchgelesen, aber kann momentan auch zum Beispiel gar nichts mit dem zweiten Tipp anfangen. Hat das was damit zu tun, dass man das Integral in eine Reihe 'umschreiben' könnte und die Reihe (dadurch dass die innere 'Folge' gegen 0 konvergiert) überhaupt konvergieren KANN und somit auch das Integral existieren Kann?

Wäre über jede Hilfe sehr dankbar :)

LG

        
Bezug
Uneigentliches Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:13 Mi 18.05.2016
Autor: Leopold_Gast

Nimm [mm]a=0[/mm] und [mm]f(x) = \sin(2 \pi x)[/mm] für [mm]x \in [0,\infty)[/mm]. Was erhält man in diesem Fall für [mm]I_n[/mm]? Und wie sieht es mit [mm]\int_0^{\infty} f(x) ~ \mathrm{d} x[/mm] aus?

Bezug
                
Bezug
Uneigentliches Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:06 Fr 20.05.2016
Autor: mathephysik01

Okay. Also wenn ich mich nicht irre müsste der [mm] sin(2*\pi*n) [/mm] für alle natürlichen Zahlen n ja 0 sein. Also ist [mm] I_{n} [/mm] so auch gleich 0.
Aber das andere Integral dürfte ja eigentlich nicht existieren wenn man [mm] \limes_{b\rightarrow\infty} \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] nimmt. Also wenn man [mm] sin(2*\pi*b) [/mm] für b-> [mm] \infty [/mm] nimmt ist das ja nicht definiert wirklich.
Das würde bedeuten die zweite Bedingung braucht man.

Wüsste denn jemand wie man den ersten Teil beweist? Mir fällt da wirklich formal recht wenig ein.

Danke:)

Bezug
                        
Bezug
Uneigentliches Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:29 Fr 20.05.2016
Autor: fred97


> Okay. Also wenn ich mich nicht irre müsste der
> [mm]sin(2*\pi*n)[/mm] für alle natürlichen Zahlen n ja 0 sein.

Ja, das stimmt.


> Also ist [mm]I_{n}[/mm] so auch gleich 0.

Das stimmt, aber ich fürchte Dir ist nicht klar warum. Rechne es doch einfach mal aus.


>  Aber das andere Integral dürfte ja eigentlich nicht
> existieren wenn man [mm]\limes_{b\rightarrow\infty} \integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]
> nimmt. Also wenn man [mm]sin(2*\pi*b)[/mm] für b-> [mm]\infty[/mm] nimmt ist
> das ja nicht definiert wirklich.


Das ist doch nur wages Zeug, argumentiere, z:B. so:

für n [mm] \in \IN [/mm] berechne mal [mm] J_n:=\integral_{0}^{n/2}{\sin(2 \pi x) dx} [/mm]

Dann solltest Du sehen: die Folge [mm] (J_n) [/mm] ist divergent. Somit ex. [mm] \integral_{0}^{\infty}{\sin(2 \pi x) dx} [/mm] nicht.


> Das würde bedeuten die zweite Bedingung braucht man.

Jo, so ist es.


>  
> Wüsste denn jemand wie man den ersten Teil beweist? Mir
> fällt da wirklich formal recht wenig ein.

Für b>a (b "groß") sei n:=[b].

Dann ist $ [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=I_n+ \integral_{n}^{b}{f(x) dx}$ [/mm]

Wegen $ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm]  f(x) = 0$ bekommst Du [mm] \integral_{n}^{b}{f(x) dx} [/mm] "klein".

So, nun fülle diesen Tipp mit Leben und exakter Mathematik.

FRED

>  
> Danke:)


Bezug
                                
Bezug
Uneigentliches Integral: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:59 So 22.05.2016
Autor: mathephysik01

So ich hatte mich die Tage nochmal dran gesetzt und verstehe soweit auch alles komplett. Nur das letzte Intgral "klein" zu kriegen fällt mir wohl doch noch schwer ;)
Vom Sinn her ist es völlig logisch, dass das Ingegral im Endeffekt wegfällt und somit nur noch [mm] I_{n} [/mm] "übrig" bleibt und darüber wissen wir ja schon, dass es existiert. Zwischen n und b müsste ja auf jeden Fall schon einmal "weniger " als eine natürliche Zahl liegen aber formal klappt es dann doch noch nicht so wirklich..

wäre nett, wenn man mir vielleicht nochmal einen (oder bei meiner Lage auch mehrere :D)  Anstöße geben würde.

Bezug
                                        
Bezug
Uneigentliches Integral: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Mo 06.06.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]