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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 So 23.04.2006 | | Autor: | Blacky |
| Aufgabe | [mm] \integral_{0}^{e}{\bruch{ln(x)}{x} dx}
[/mm]
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Hallo, in der Schule haben wir eigentlich fast immer uneigentliche Integrale mit endlichem Flächeninhalt berechnet. Gibt es auch solche Integrale, die keinen endlichen Inhalt haben, obwohl sie sich für den entsprechenden Grenzwert beliebig nahe einer Koordinatenachse nähern (hier wäre es also die y-Achse)? Stimmt es, wie ichs gerechnet habe?
Gibt es eine Regel, wann die Integrale endlichen Inhalt und wann unendlichen haben oder ist das von Funktion zu Funktion verschieden? (immer vorausgesetzt natürlich der Graph nähert sich auch einer Koordinatenachse... :D).
Zur Aufgabe:
[mm] \limes_{a\rightarrow0} \integral_{a}^{e}{\bruch{ln(x)}{x} dx}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{2}-\limes_{a\rightarrow0} \bruch{1}{2}*(lnx)²
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{2}-\infty
[/mm]
[mm] \gdw -\infty
[/mm]
Die Fläche würde also unendlich groß werden.
mfg blacky
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 So 23.04.2006 | | Autor: | Walde |
Hi blacky,
deine Rechnung stimmt. Und wie du gesehen hast, muss der Flächeninhalt nicht unbedingt endlich sein, nur weil sich die Fkt. den Achsen annährt. Es kommt drauf an wie stark die Annährung ist. Es gibt zwar ein paar Standard-Integrale, wo man es weiss (weil man es mal rechnen sollte), z.b
[mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x^\alpha}dx} [/mm]
existiert nur für [mm] \alpha>1, [/mm] aber generell sieht man es einem Integral nicht sofort an, ob es existiert, man muss es nachrechnen.
L G walde
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