Uneigentliches Integral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo,
ich wollte obiges Integral erst mit dieser Variante aus dem Skript ausrechnen. Allerdings fällt das sinus Integral nicht weg weil dieser Teil keine ungerade Funktion ist. Dann habe ich mir überlegt den cosinus wie im Tipp angegeben zu ersetzen. Kann ich damit das Integral lösen, indem ich f(x) als x/(x²-2x+10) auffasse, die Residuuen ausrechne und diese noch mal [mm] Re*2i\pi [/mm] nehme?
PS: Woher kommt dieses Theorem [mm] cos(x)=Rex^{ix}? [/mm] Ich kenne nur das übliche cos(x) [mm] =\bruch{e^{ix}+e^{-ix}}{2} [/mm] und das hier sieht mir so seltsam aus.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo mikemodanoxxx,
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo,
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> ich wollte obiges Integral erst mit dieser Variante aus dem
> Skript ausrechnen. Allerdings fällt das sinus Integral
> nicht weg weil dieser Teil keine ungerade Funktion ist.
> Dann habe ich mir überlegt den cosinus wie im Tipp
> angegeben zu ersetzen. Kann ich damit das Integral lösen,
> indem ich f(x) als x/(x²-2x+10) auffasse, die Residuuen
> ausrechne und diese noch mal [mm]Re*2i\pi[/mm] nehme?
Ja.
>
> PS: Woher kommt dieses Theorem [mm]cos(x)=Rex^{ix}?[/mm] Ich kenne
> nur das übliche cos(x) [mm]=\bruch{e^{ix}+e^{-ix}}{2}[/mm] und das
> hier sieht mir so seltsam aus.
Nun, das ist die ![[]](/images/popup.gif) Eulersche Identität
Gruß
MathePower
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hm damit komme ich auf was seltsames. Ich schreibe meine Rechnung hier mal rein:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{xcos(x)}{x^{2}-2x+10} dx}
[/mm]
= [mm] Re\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{xe^{ix}}{x^{2}-2x+10} dx}
[/mm]
= [mm] iRe2\pi\summe_{k=1}^{N}Res(e^{iz}f(z),z_{k})
[/mm]
mit [mm] f(z)=\bruch{z}{z^{2}-2z+10}
[/mm]
[mm] z^{2}-2z+10 [/mm] = 0
[mm] z_{1,2} [/mm] = 1 [mm] \pm \wurzel{1-10} [/mm] = 1 [mm] \pm \wurzel{3}i
[/mm]
=> [mm] f(z)=\bruch{z}{(z-1+\wurzel{3}i)(z-1-\wurzel{3}i)}
[/mm]
[mm] Res(e^{ix}f(z),1+\wurzel{3}i) [/mm] = [mm] \limes_{z\rightarrow1+\wurzel{3}i} e^{iz}f(z)= \limes_{z\rightarrow1+\wurzel{3}i} \bruch{ze^{iz}}{z-1+\wurzel{3}i} [/mm] = [mm] \bruch{(1+\wurzel{3}i)e^{i(1+\wurzel{3}i)}}{2\wurzel{3}i}
[/mm]
also [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{xcos(x)}{x^{2}-2x+10} dx} [/mm] = [mm] iRe2\pi \bruch{(1+\wurzel{3}i)e^{i(1+\wurzel{3}i)}}{2\wurzel{3}i}
[/mm]
= [mm] Re\pi \bruch{(1+\wurzel{3}i)e^{i(1+\wurzel{3}i)}}{\wurzel{3}}
[/mm]
Habe ich einen Fehler gemacht? Wie vereinfache ich das jetzt weiter? Es muss doch wohl irgendwie ein reeles Ergebnis rauskommen?!
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Hallo mikemodanoxxx,
> hm damit komme ich auf was seltsames. Ich schreibe meine
> Rechnung hier mal rein:
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{xcos(x)}{x^{2}-2x+10} dx}[/mm]
>
> =
> [mm]Re\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{xe^{ix}}{x^{2}-2x+10} dx}[/mm]
>
> = [mm]iRe2\pi\summe_{k=1}^{N}Res(e^{iz}f(z),z_{k})[/mm]
>
> mit [mm]f(z)=\bruch{z}{z^{2}-2z+10}[/mm]
>
> [mm]z^{2}-2z+10[/mm] = 0
> [mm]z_{1,2}[/mm] = 1 [mm]\pm \wurzel{1-10}[/mm] = 1 [mm]\pm \wurzel{3}i[/mm]
Hier muß doch stehen:
[mm]z_{1,2} = 1 \pm \wurzel{1-10} = 1 \pm \wurzel{-9} =1 \pm \red{3}i[/mm]
>
> => [mm]f(z)=\bruch{z}{(z-1+\wurzel{3}i)(z-1-\wurzel{3}i)}[/mm]
>
> [mm]Res(e^{ix}f(z),1+\wurzel{3}i)[/mm] =
> [mm]\limes_{z\rightarrow1+\wurzel{3}i} e^{iz}f(z)= \limes_{z\rightarrow1+\wurzel{3}i} \bruch{ze^{iz}}{z-1+\wurzel{3}i}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{(1+\wurzel{3}i)e^{i(1+\wurzel{3}i)}}{2\wurzel{3}i}[/mm]
>
> also
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{xcos(x)}{x^{2}-2x+10} dx}[/mm]
> = [mm]iRe2\pi \bruch{(1+\wurzel{3}i)e^{i(1+\wurzel{3}i)}}{2\wurzel{3}i}[/mm]
>
> = [mm]Re\pi \bruch{(1+\wurzel{3}i)e^{i(1+\wurzel{3}i)}}{\wurzel{3}}[/mm]
>
> Habe ich einen Fehler gemacht? Wie vereinfache ich das
> jetzt weiter? Es muss doch wohl irgendwie ein reeles
> Ergebnis rauskommen?!
Gruß
MathePower
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Oh danke ich werde noch wahnsinnig. Damit komme ich jetzt auf:
[mm] \bruch{R\pi}{3}(1+3i)e^{i-2}
[/mm]
Und nun?
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Hallo mikemodanoxx,
> Oh danke ich werde noch wahnsinnig. Damit komme ich jetzt
> auf:
>
> [mm]\bruch{R\pi}{3}(1+3i)e^{i-2}[/mm]
[mm]\bruch{\pi}{3}(1+3i)e^{i-\red{3}}[/mm]
>
> Und nun?
Jetzt ausmultiplizieren und den Realteil davon bilden.
[mm]\bruch{\pi}{3}(1+3i)e^{i-3}=\bruch{\pi}{3}(1+3i)e^{-3}*\left( \ \cos\left(1\right) + i* \sin\left(1\right) \ \right)[/mm]
Gruß
MathePower
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[mm] \bruch{\pi e^{-3}}{3}(cos(1)-3sin(1)) [/mm] + [mm] i\bruch{\pi e^{-3}}{3}(sin(1)+3cos(1)) [/mm]
Der Realteil ist jetzt mein Ergebnis oder was?
PS: Die hoch -2 kamen daher, weil ich das [mm] e^{1} [/mm] reinmultipliziert hat. Keine Ahnung ob das ein Fehler war habe meinen Schmierzettel gerade nicht hier. Ist auch nicht so wichtig, will ja nur das Prinzip verstehen.
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Hallo mikemodanoxxx,
> [mm]\bruch{\pi e^{-3}}{3}(cos(1)-3sin(1))[/mm] + [mm]i\bruch{\pi e^{-3}}{3}(sin(1)+3cos(1))[/mm]
>
> Der Realteil ist jetzt mein Ergebnis oder was?
So isses.
>
> PS: Die hoch -2 kamen daher, weil ich das [mm]e^{1}[/mm]
> reinmultipliziert hat. Keine Ahnung ob das ein Fehler war
> habe meinen Schmierzettel gerade nicht hier. Ist auch nicht
> so wichtig, will ja nur das Prinzip verstehen.
Gruß
MathePower
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Ok vielen Dank. Woher kommt das, das man dann den Imaginärteil einfach ignorieren kann?
edit: oh man ich bin vielleicht blöd. Ich habe die ganze Zeit gedacht, das soll R*e*e^ix heißen und hab nich gesehen, dass die den Realteil meinen. Jetzt ist mir alles klar :)...
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Hallo mikemodanoxxx,
> Ok vielen Dank. Woher kommt das, das man dann den
> Imaginärteil einfach ignorieren kann?
Nun weil [mm]\bruch{x}{x^{2}-2x+10}[/mm] reell ist.
>
> edit: oh man ich bin vielleicht blöd. Ich habe die ganze
> Zeit gedacht, das soll R*e*e^ix heißen und hab nich
> gesehen, dass die den Realteil meinen. Jetzt ist mir alles
> klar :)...
Gruß
MathePower
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