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Forum "Integration" - Uneigentliches Integral
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Uneigentliches Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:41 Do 28.05.2009
Autor: xtraxtra

Aufgabe
Prüfe ob uneigentliches Integral existiert! Wenn ja, bestimme den Wert:
[mm] \integral_{0}^{1}(ln(x))²dx [/mm]

Hi, ich bin auf eine Lösung gekommen, aber wie immer bin ich mir sehr unsicher und hätte gerne eine Bestätigung von euch.
[mm] \integral_{0}^{1}(ln(x))²dx [/mm] hier habe ich substituiert: u=ln(x); [mm] x=e^u, dx=e^{u}du [/mm]
[mm] =\limes_{a\rightarrow 0}\integral_{ln(a)}^{0}u²*e^{u}du=...=\limes_{a\rightarrow 0}(-ln(a)²*a-2ln(a)*a+2-2a)=2 [/mm]
Bei ln(a)²*a und 2ln(a)*a habe ich durch l'Hôbital ->0 rausgefunden.
Ist das soweit alles richtig?

        
Bezug
Uneigentliches Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:59 Do 28.05.2009
Autor: schachuzipus

Hallo xtraxtra,

> Prüfe ob uneigentliches Integral existiert! Wenn ja,
> bestimme den Wert:
>  [mm]\integral_{0}^{1}(ln(x))²dx[/mm]
>  Hi, ich bin auf eine Lösung gekommen, aber wie immer bin
> ich mir sehr unsicher und hätte gerne eine Bestätigung von
> euch.
>  [mm]\integral_{0}^{1}(ln(x))²dx[/mm] hier habe ich substituiert:
> u=ln(x); [mm]x=e^u, dx=e^{u}du[/mm]

Ich finde hier eine direkte partielle Integration einfacher, aber so geht's auch

>  [mm] $=\limes_{a\rightarrow 0}\integral_{ln(a)}^{0}u²*e^{u}du=...=\limes_{a\rightarrow 0}(-ln(a)²*a\red{+}2ln(a)*a+2-2a)=2$ [/mm]

[daumenhoch]

>  
> Bei ln(a)²*a und 2ln(a)*a habe ich durch l'Hôpital ->0
> rausgefunden.
>  Ist das soweit alles richtig?

Kleiner VZF, macht aber nix, da der Term gegen 0 geht

LG

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Uneigentliches Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:33 Do 28.05.2009
Autor: xtraxtra

Ich habe es jetzt gerade über direkter partiellen Integration versucht:
$ [mm] \integral_{0}^{1}(ln(x))²dx $=\limes_{a\rightarrow 0}[ln(x)*(ln(x)x-x)]_{a}^{1}-\integral_{a}^{1}ln(x)-1dx=0+1-\limes_{a\rightarrow 0}\integral_{a}^{1}ln(x)dx+\integral_{a}^{1}1dx=1-0+ln(a)+1 [/mm]
aber ln(a) geht ja gegen [mm] -\infty [/mm]
Wo mache ich da einen Fehlen?

Bezug
                        
Bezug
Uneigentliches Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:53 Do 28.05.2009
Autor: leduart

Hallo
Deine partielle Int kapier ich nicht, da aber dein erstes Ergebnis richtig war brauchst dus ja nicht. dieses hier ist falsch.
(die Stammfkt kann sich ja nicht mit dem Integrationsverfahren aendern!)
Gruss leduart

Bezug
                                
Bezug
Uneigentliches Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:59 Do 28.05.2009
Autor: xtraxtra

Richtig, ich brauche es nicht, da mir aber allgemein Integrieren noch recht schwer fällt, würde ich es gerne üben, und da ist diese partielle Integration gar nicht schlecht.
Ich habe ja im ursprünglichen Integral ln(x)*ln(x) stehn.
Also habe ich f(x)=ln(x) und somit f'(x)=1/x
und ich habe g'(x)=ln(x) => g(x)=xln(x)-x
und dann komme ich eben auf die oben stehende Rechnung.

Bezug
                                        
Bezug
Uneigentliches Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:39 Fr 29.05.2009
Autor: leduart

Hallo xtrxtra


>  Ich habe ja im ursprünglichen Integral ln(x)*ln(x) stehn.
>  Also habe ich f(x)=ln(x) und somit f'(x)=1/x
>  und ich habe g'(x)=ln(x) => g(x)=xln(x)-x

>  und dann komme ich eben auf die oben stehende Rechnung.

nein, das stimmt nicht du hast dann:
[mm] (xln(x)-x)*lnx-\integral{(lnx-1) dx} [/mm]
und nicht was du oben stehen hast.
hier kommt nirgens lnx alleine vor.
Gruss leduart


Bezug
                                                
Bezug
Uneigentliches Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:02 Fr 29.05.2009
Autor: xtraxtra

Ah, sorry, das hab ich auch so gmeint, mir ist nur das dx bei Integral vor die -1 gerutscht. Aufm Schmiezettel ist es so, wie du es geschrieben hast, ich werde es oben ausbessern. Allerdings ist die Frage dann noch nicht gelöst. ;)

Bezug
                                                        
Bezug
Uneigentliches Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:48 Fr 29.05.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Ah, sorry, das hab ich auch so gmeint, mir ist nur das dx
> bei Integral vor die -1 gerutscht. Aufm Schmiezettel ist es
> so, wie du es geschrieben hast, ich werde es oben
> ausbessern. Allerdings ist die Frage dann noch nicht
> gelöst. ;)

Der Fehler ist, dass ganz am Ende nicht [mm] $\ln(a)$ [/mm] rauskommt, sondern [mm] $a\cdot{}\ln(a)$. [/mm]

Und das strebt für [mm] $a\downarrow [/mm] 0$ schön gegen 0, so wie es sollte und es kommt wieder 2 als Wert für das Integral heraus

Du solltest besser zuerst die komplette Stammfunktion ausrechnen und dann den Grenzprozess machen und nicht so teilweise, das kann kein Mensch vernünftig nachvollziehen.

Wenn du zuerst komplett die Stfk. ausrechnest, erhältst du genau denselben Term wie bei deiner ursprüngl. Rechnung

LG

schachuzipus


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