Uneigentliches Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:41 Do 28.05.2009 | | Autor: | xtraxtra |
| Aufgabe | Prüfe ob uneigentliches Integral existiert! Wenn ja, bestimme den Wert:
[mm] \integral_{0}^{1}(ln(x))²dx [/mm] |
Hi, ich bin auf eine Lösung gekommen, aber wie immer bin ich mir sehr unsicher und hätte gerne eine Bestätigung von euch.
[mm] \integral_{0}^{1}(ln(x))²dx [/mm] hier habe ich substituiert: u=ln(x); [mm] x=e^u, dx=e^{u}du
[/mm]
[mm] =\limes_{a\rightarrow 0}\integral_{ln(a)}^{0}u²*e^{u}du=...=\limes_{a\rightarrow 0}(-ln(a)²*a-2ln(a)*a+2-2a)=2
[/mm]
Bei ln(a)²*a und 2ln(a)*a habe ich durch l'Hôbital ->0 rausgefunden.
Ist das soweit alles richtig?
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Hallo xtraxtra,
> Prüfe ob uneigentliches Integral existiert! Wenn ja,
> bestimme den Wert:
> [mm]\integral_{0}^{1}(ln(x))²dx[/mm]
> Hi, ich bin auf eine Lösung gekommen, aber wie immer bin
> ich mir sehr unsicher und hätte gerne eine Bestätigung von
> euch.
> [mm]\integral_{0}^{1}(ln(x))²dx[/mm] hier habe ich substituiert:
> u=ln(x); [mm]x=e^u, dx=e^{u}du[/mm]
Ich finde hier eine direkte partielle Integration einfacher, aber so geht's auch
> [mm] $=\limes_{a\rightarrow 0}\integral_{ln(a)}^{0}u²*e^{u}du=...=\limes_{a\rightarrow 0}(-ln(a)²*a\red{+}2ln(a)*a+2-2a)=2$ [/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Bei ln(a)²*a und 2ln(a)*a habe ich durch l'Hôpital ->0
> rausgefunden.
> Ist das soweit alles richtig?
Kleiner VZF, macht aber nix, da der Term gegen 0 geht
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:33 Do 28.05.2009 | | Autor: | xtraxtra |
Ich habe es jetzt gerade über direkter partiellen Integration versucht:
$ [mm] \integral_{0}^{1}(ln(x))²dx $=\limes_{a\rightarrow 0}[ln(x)*(ln(x)x-x)]_{a}^{1}-\integral_{a}^{1}ln(x)-1dx=0+1-\limes_{a\rightarrow 0}\integral_{a}^{1}ln(x)dx+\integral_{a}^{1}1dx=1-0+ln(a)+1
[/mm]
aber ln(a) geht ja gegen [mm] -\infty
[/mm]
Wo mache ich da einen Fehlen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:53 Do 28.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine partielle Int kapier ich nicht, da aber dein erstes Ergebnis richtig war brauchst dus ja nicht. dieses hier ist falsch.
(die Stammfkt kann sich ja nicht mit dem Integrationsverfahren aendern!)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:59 Do 28.05.2009 | | Autor: | xtraxtra |
Richtig, ich brauche es nicht, da mir aber allgemein Integrieren noch recht schwer fällt, würde ich es gerne üben, und da ist diese partielle Integration gar nicht schlecht.
Ich habe ja im ursprünglichen Integral ln(x)*ln(x) stehn.
Also habe ich f(x)=ln(x) und somit f'(x)=1/x
und ich habe g'(x)=ln(x) => g(x)=xln(x)-x
und dann komme ich eben auf die oben stehende Rechnung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:39 Fr 29.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo xtrxtra
> Ich habe ja im ursprünglichen Integral ln(x)*ln(x) stehn.
> Also habe ich f(x)=ln(x) und somit f'(x)=1/x
> und ich habe g'(x)=ln(x) => g(x)=xln(x)-x
> und dann komme ich eben auf die oben stehende Rechnung.
nein, das stimmt nicht du hast dann:
[mm] (xln(x)-x)*lnx-\integral{(lnx-1) dx}
[/mm]
und nicht was du oben stehen hast.
hier kommt nirgens lnx alleine vor.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:02 Fr 29.05.2009 | | Autor: | xtraxtra |
Ah, sorry, das hab ich auch so gmeint, mir ist nur das dx bei Integral vor die -1 gerutscht. Aufm Schmiezettel ist es so, wie du es geschrieben hast, ich werde es oben ausbessern. Allerdings ist die Frage dann noch nicht gelöst. ;)
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Hallo nochmal,
> Ah, sorry, das hab ich auch so gmeint, mir ist nur das dx
> bei Integral vor die -1 gerutscht. Aufm Schmiezettel ist es
> so, wie du es geschrieben hast, ich werde es oben
> ausbessern. Allerdings ist die Frage dann noch nicht
> gelöst. ;)
Der Fehler ist, dass ganz am Ende nicht [mm] $\ln(a)$ [/mm] rauskommt, sondern [mm] $a\cdot{}\ln(a)$.
[/mm]
Und das strebt für [mm] $a\downarrow [/mm] 0$ schön gegen 0, so wie es sollte und es kommt wieder 2 als Wert für das Integral heraus
Du solltest besser zuerst die komplette Stammfunktion ausrechnen und dann den Grenzprozess machen und nicht so teilweise, das kann kein Mensch vernünftig nachvollziehen.
Wenn du zuerst komplett die Stfk. ausrechnest, erhältst du genau denselben Term wie bei deiner ursprüngl. Rechnung
LG
schachuzipus
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