Uneigentliches Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^2+2x+2} [/mm] |
[mm] \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^2+2x+2} [/mm] = [mm] \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x+1)^2+1}
[/mm]
z = x+1
[mm] \frac{dz}{dx} [/mm] = 1
dz=dx
[mm] \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dz}{z^2+1} [/mm] = [mm] \left[ arctan(z) \right]_{-\infty}^{\infty} [/mm] = [mm] \frac{\pi}{2} [/mm] - [mm] \frac{3\pi}{2} [/mm] = [mm] -\pi
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:22 Fr 29.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo DrNetwork!
Grundsätzlich ist Deine Rechnung bis auf den Wert für [mm] $-\infty$ [/mm] okay.
Allerdings sollte man bei derartigen uneigentlichen Integralen sauber mittels Grenzwertbetrachtungen formulieren.
Gruß
Loddar
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> Hallo DrNetwork!
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> Grundsätzlich ist Deine Rechnung bis auf den Wert für
> [mm]-\infty[/mm] okay.
Was kommt da denn raus? Wir dürfen nämlich keine Taschenrechner benutzen. Ich hab einfach gedacht ich tan(x)=sin(x)/cos(x) und negativ wird es dann wenn sin(x) = -1 und cos(x) = 0
> Allerdings sollte man bei derartigen uneigentlichen
> Integralen sauber mittels Grenzwertbetrachtungen
> formulieren.
Jo, das hab ich vergessen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:39 Fr 29.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo DrNetwork!
Kleiner Tipp: der Funktionsgraph des [mm] $\arctan(z)$ [/mm] ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Damit folgt aus [mm] "$\arctan(+\infty) [/mm] \ = \ [mm] +\bruch{\pi}{2}$" [/mm] ...
Gruß
Loddar
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