Uneigentliches Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Entscheiden Sie, ob das folgende uneigentliche Integral existiert, und bestimmen Sie gegebenenfalls seinen Wert.
(Falls das Integral nicht existiert, geben Sie als Wert n an.)
[mm] \int_{0}^{\infty}\,\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x [/mm] |
Hallo.
Ich würde gerne wissen, ob mein Rechenweg für diese Aufgabe ok ist.
[mm] \bruch{1}{1+x^2} [/mm] ist die Ableitung des arctan(x).
Also ist F(x)=arctan(x)+C
Nun weiß ich, dass der arctan(0)=0 ist.
Die obere Grenze könnte ich ja mit a ersetzen und
[mm] \limes_{a\rightarrow\infty} [/mm] arctan(a) laufen lassen.
Dabei würde ich kein wirklich klares Ergebnis erhalten, da diese Funktion periodisch ist und wir sie nicht in einem bestimmten Intervall betrachten.
Betrachte ich die Funktion [mm] \bruch{1}{1+x^2}, [/mm] so sieht man hier, dass für [mm] x\to\infty [/mm] die Werte gegen 0 streben.
Man könnte ja sagen, dass die Fläche ab einem bestimmten Punkt vernachlässigbar klein wird, aber diesen Punkt kann man nicht wirklich bestimmten ,oder?
Ich würde daher sagen, dass es sich um ein uneigentliches Integral handelt.
Ist diese Vorgehensweise so überhaupt in Ordnung?
Viele Grüße und danke im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Mo 14.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Entscheiden Sie, ob das folgende uneigentliche Integral
> existiert, und bestimmen Sie gegebenenfalls seinen Wert.
>
> (Falls das Integral nicht existiert, geben Sie als Wert n
> an.)
>
>
>
> [mm]\int_{0}^{\infty}\,\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x[/mm]
> Hallo.
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> Ich würde gerne wissen, ob mein Rechenweg für diese
> Aufgabe ok ist.
>
> [mm]\bruch{1}{1+x^2}[/mm] ist die Ableitung des arctan(x).
> Also ist F(x)=arctan(x)+C
>
> Nun weiß ich, dass der arctan(0)=0 ist.
> Die obere Grenze könnte ich ja mit a ersetzen und
> [mm]\limes_{a\rightarrow\infty}[/mm] arctan(a) laufen lassen.
> Dabei würde ich kein wirklich klares Ergebnis erhalten,
> da diese Funktion periodisch ist
Na, na, wo hast Du denn das her ? Der arctan ist nicht periodisch !
Schau mal hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Arkustangens_und_Arkuskotangens
FRED
> und wir sie nicht in einem
> bestimmten Intervall betrachten.
>
> Betrachte ich die Funktion [mm]\bruch{1}{1+x^2},[/mm] so sieht man
> hier, dass für [mm]x\to\infty[/mm] die Werte gegen 0 streben.
> Man könnte ja sagen, dass die Fläche ab einem bestimmten
> Punkt vernachlässigbar klein wird, aber diesen Punkt kann
> man nicht wirklich bestimmten ,oder?
>
> Ich würde daher sagen, dass es sich um ein uneigentliches
> Integral handelt.
> Ist diese Vorgehensweise so überhaupt in Ordnung?
>
> Viele Grüße und danke im Voraus.
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Hallo Fred.
Danke für die Korrektur.
Was ein blöder Fehler.
Dadurch das der Tangens periodisch ist habe ich darauf geschlossen, dass der arctan auch periodisch sein muss.
Dabei habe ich übersehen, dass die Werte des tan(x) beliebig groß werden können und im Intervall [mm] (-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}) [/mm] jedem x-Wert ein y-Wert zugeordnet wird. (bzw. in den darauffolgenden Perioden).
Nun habe ich mir den Funktionsgraphen von arctan angesehen und für [mm] x\to\infty [/mm] läuft der Graph gegen [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] (im Intervall [mm] (-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}).
[/mm]
Aber ich kann doch schlecht schreiben:
[mm] \limes_{a\rightarrow\infty}{arctan(a)}=\bruch{\pi}{2}
[/mm]
Weiterhin weiß ich nicht genau ob ich wirklich das oben beschriebene Intervall nutzen darf, oder ob ich ein Vielfaches davon nehmen soll.
Denn für die Fläche macht es ja einen Unterschied ob ich:
[mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] oder [mm] \bruch{3}{2}\pi; \bruch{5}{2}\pi [/mm] usw nehme.
Oder gilt, dass der arctan(x) nur im Intervall
[mm] (-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}) [/mm] bestimmt ist.
Viele Grüße und danke im Voraus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Mo 14.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Hallo Fred.
>
> Danke für die Korrektur.
> Was ein blöder Fehler.
> Dadurch das der Tangens periodisch ist habe ich darauf
> geschlossen, dass der arctan auch periodisch sein muss.
> Dabei habe ich übersehen, dass die Werte des tan(x)
> beliebig groß werden können und im Intervall
> (-\bruch{\pi}{2i,\bruch{\pi}{2}) jedem x-Wert ein y-Wert
> zugeordnet wird. (bzw. in den darauffolgenden Perioden).
>
> Nun habe ich mir den Funktionsgraphen von arctan angesehen
> und für x\to\infty läuft der Graph gegen \bruch{/pi}{2}
> (im Intervall (-\bruch{pi}{2},\bruch{pi}{2}).
>
> Aber ich kann doch schlecht schreiben:
> \limes_{a\rightarrow\infty}{arctan(a)}=\bruch{pi}{2}
>
> Weiterhin weiß ich nicht genau ob ich wirklich das oben
> beschriebene Intervall nutzen darf, oder ob ich ein
> Vielfaches davon nehmen soll.
> Denn für die Fläche macht es ja einen Unterschied ob
> ich:
> \bruch{pi}{2} oder \bruch{3}{2}\pi \bruch{5}{2}\pi usw
> nehme.
>
> Oder gilt, dass der arctan(x) nur im Intervall
> (-\bruch{\pi}{2}
> ,\bruch{\pi}{2}) bestimmt ist.
>
> Viele Grüße und danke im Voraus.
>
1. Obiges ist kaum zu lesen.
2. Was hast Du für Probleme, die Funktion f(x)=arctan(x) ist auf ganz $\IR$ definiert und f(x) \to \pi/2 für x \to \infty
Somit: \integral_{0}^{a}{\bruch{1}{1+x^2} dx}= arctan(a) \to \pi/2 für a \to \infty
FRED
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Hallo Fred.
Danke für die Antwort.
Ich glaube, dass wir beide zeitgleich auf Antworten/Editieren gedrückt haben.
Ich hatte meinen Beitrag direkt nach dem Abschicken editiert.
Wenn du mit Problemenen Fragen meinst, dann folgende:
Der tan(x) ist perdiodisch.
D.h er kann im Intervall [mm] (-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}), (\bruch{\pi}{2},\bruch{3}{2}\pi), (\bruch{3}{2}\pi,\bruch{5}{2}\pi) [/mm] etc. auftreten.
Die Länge der Intervalle unterscheidet sich nicht, aber die Werte sind eben doch verschieden.
Die Umkehrfunktion ordnet allen x-Werte, genau diese Werte des Intervalls zu.
Es macht doch einen Unterschied, ob ich meinen x-Werte y-Werte aus [mm] (-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}) [/mm] oder Werte aus [mm] (\bruch{\pi}{2},\bruch{3}{2}\pi) [/mm] zuordne.
Nimm z.B [mm] tan(\bruch{\pi}{4}) [/mm] und [mm] tan(\bruch{5}{4}\pi).
[/mm]
Beide ergeben 1.
D.h [mm] arctan(1)=\bruch{\pi}{4} [/mm] oder [mm] tan(\bruch{5}{4}\pi)
[/mm]
Und für das Integral macht es durchaus einen Unterschied ob meine Fläche [mm] \bruch{1}{4}\pi [/mm] groß ist oder [mm] \bruch{5}{4}\pi.
[/mm]
Daher frage ich ob arctan(x) nur den Wertebereich von [mm] (-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}) [/mm] hat.
Ich hoffe damit wird es klarer.
Liebe Grüße und danke für die Geduld
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:10 Mo 14.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Jetzt ist mir klar, wo Du Deine Schwierigkeiten hast.
Der Tangens ist auf dem Intervall [mm] (-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}) [/mm] streng monoton wachsend und daher Umkehrbar.
D.h.: der arctan ist die Umkehrfunktion des obigen Zweiges des Tangens
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 Mo 14.02.2011 | | Autor: | Masseltof |
Hallo Fred.
Danke für die Antwort.
Jetzt freue ich mich doppelt.
Entschuldig nochmal das voreilige Posten mit schnellem Editieren.
Viele Grüße :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:15 Mo 14.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred.
>
> Danke für die Antwort.
bitteschön
> Jetzt freue ich mich doppelt.
einfach verstehe ich , aber doppelt ?
> Entschuldig nochmal das voreilige Posten mit schnellem
> Editieren.
Keine Ursache
FRED
>
> Viele Grüße :)
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