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Hallo, ich habe hier den Lösungsweg folgender Aufgabe, könnte mir jemand diesen Schritt für Schritt erklären was jeweils gemacht wird? Auch bezüglich der Grenzen des Integrals. Das wäre wirklich sehr nett.
Zu zeigen: die Existenz dieses uneigentlichen Integrals:
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x}sin{\bruch{1}{x}}dx}
[/mm]
Die Lösung:
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x}sin{\bruch{1}{x}}dx} [/mm] für alle [mm] \alpha\in [/mm] (0,1)
[mm] \integral_{\alpha}^{1}{\bruch{1}{x}sin{\bruch{1}{x}}dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{\alpha}^{1}{\bruch{-1}{x^{2}}(-x)sin{\bruch{1}{x}}dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{\alpha}^{1}{\bruch{-1}{x²}(\bruch{-1}{\bruch{1}{x}})sin{\bruch{1}{x}}dx}
[/mm]
Also: z = 1/x
= [mm] \integral_{\alpha}^{1} [/mm] z'(x) - [mm] \bruch{1}{z(x)}sin(z(x))dx
[/mm]
= [mm] \integral_{1/\alpha}^{1} \bruch{-1}{t}sin(t) [/mm] dt
= [mm] -\integral_{\alpha}^{1} \bruch{1}{t} [/mm] sin(t) dt
= [mm] \integral_{1}^{1/\alpha} \bruch{1}{t} [/mm] sin(t) dt [mm] \Rightarrow [/mm] Es [mm] ex.\limes_{\alpha\rightarrow\0} \integral_{1}^{1/\alpha} \bruch{1}{t} [/mm] sin(t) dt = [mm] \integral_{1}^{\infty} \bruch{1}{t} [/mm] sin(t) dt
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Hallo Julia,
> Hallo, ich habe hier den Lösungsweg folgender Aufgabe,
> könnte mir jemand diesen Schritt für Schritt erklären
> was jeweils gemacht wird? Auch bezüglich der Grenzen des
> Integrals. Das wäre wirklich sehr nett.
>
> Zu zeigen: die Existenz dieses uneigentlichen Integrals:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x}sin{\bruch{1}{x}}dx}[/mm]
>
> Die Lösung:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x}sin{\bruch{1}{x}}dx}[/mm] für
> alle [mm]\alpha\in[/mm] (0,1)
>
> [mm]\integral_{\alpha}^{1}{\bruch{1}{x}sin{\bruch{1}{x}}dx}[/mm]
>
> =
> [mm]\integral_{\alpha}^{1}{\bruch{-1}{x²}(-x)sin{\bruch{1}{x}}dx}[/mm]
??
Wie kommt das x da rein?
Das ist nicht mehr dasselbe wie darüber ...
Du kannst direkt bei [mm]\int\limits_{\alpha}^1{\frac{1}{x}\cdot{}\sin\left(\frac{1}{x}\right) \ dx}[/mm] substituieren mit [mm]z=z(x):=\frac{1}{x}[/mm] und kommst auf
[mm]-\int\limits_{1/\alpha}^1{\frac{\sin(z)}{z} \ dz}[/mm]
>
> =
> [mm]\integral_{\alpha}^{1}{\bruch{-1}{x²}(\bruch{-1}{\bruch{1}{x}})sin{\bruch{1}{x}}dx}[/mm]
>
> Also: z = 1/x
>
> = [mm]\integral_{\alpha}^{1}[/mm] z'(x) - [mm]\bruch{1}{z(x)}sin(z(x))dx[/mm]
???
Verstehe ich nicht, wieso "Minus"?
>
> = [mm]\integral_{1/\alpha}^{1} \bruch{-1}{t}sin(t)[/mm] dt
Woher kommt t ?
Aber es deckt sich immerhin mit meinem Ergebnis soweit ...
>
> = [mm]-\integral_{\alpha}^{1} \bruch{1}{t}[/mm] sin(t) dt
?? Wie wird aus [mm]1/\alpha[/mm] ein [mm]\alpha[/mm]?
>
> = [mm]\integral_{1}^{1/\alpha} \bruch{1}{t}[/mm] sin(t) dt ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\Rightarrow[/mm] Es [mm]ex.\limes_{\alpha\rightarrow\0} \integral_{1}^{1/\alpha} \bruch{1}{t}[/mm] sin(t) dt = [mm]\integral_{1}^{\infty} \bruch{1}{t}[/mm] sin(t) dt
Na, das sollst du ja wohl begründen, dass dieser Limes existiert ...
Woraus folgerst du das? Da steht ein [mm]\Rightarrow[/mm] , der aus dem Nichts auftaucht.
Das ist doch eine entscheidende Stelle, die einer Begründung bedarf!
Wieso ist [mm]\int\limits_{1}^{\infty}{\frac{\sin(t)}{t} \ dt} \ < \ \infty[/mm] ?
Das ist doch neben dem Substitutionsansatz der Clou an der Aufgabe ...
Du solltest dir mehr Gedanken über deinen Aufschrieb machen; das ist kolossal schlecht aufgeschrieben und sehr unübersichtlich. Wahrlich kein Spaß, das nachzuvollziehen ...
Gruß
schachuzipus
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Die Lösung habe ich nicht selbst erarbeitet sondern von meinem Lehrer bekommen.
Sie ist auch für mich schwer nachzuvollziehen und daher habe ich ja hier ins Forum geschrieben.
Wie würde denn ein besserer Lösungsweg aussehen zu dieser Aufgabe?
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Hallo nochmal,
naja, du hast das "komisch" aufgeschrieben, mal mit z mal steht t da, Klammern fehlen ...
Im Endeffekt kannst du direkt die Substitution machen und kommst letzten Endes auf das Integral
[mm]\int\limits_{1}^{\frac{1}{\alpha}}{\frac{\sin(z)}{z} \ dz}[/mm]
Und wenn [mm]\alpha\to 0[/mm] geht, geht [mm]\frac{1}{\alpha}\to\infty[/mm]
Das ist also nichts anderes als [mm]\lim\limits_{M\to\infty}\int\limits_1^M{\frac{\sin(z)}{z} \ dz}[/mm]
Also so, wie es am Ende dasteht.
Aber dass dieser GW existiert, ist nicht begründet.
Das sollte also begründet werden, denn genau damit willst du ja zeigen, dass dein Ausgangsintegral einen endlichen Wert hat.
Oder habt ihr das schon vorher im Zuge einer anderen Aufgabe oder im Unterricht gezeigt? Dann ergäbe der Folgerungspfeil einen Sinn.
Ansonsten als Tipp:
Schaue dir den Betrag des Integrals an!
Ansonsten ist die Lösung ja i.O.
Gruß
schachuzipus
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Ok vielen Dank für deine Hilfe..
Noch eine letzte Frage.
Wie kommt man auf den Schritt vor dem "also z = 1/x"
Diese Zeile meine ich: = [mm] \integral_{\alpha}^{1}{\bruch{-1}{x²}(\bruch{-1}{\bruch{1}{x}})sin{\bruch{1}{x}}dx}
[/mm]
Wie kommt man darauf?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:01 Mo 17.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ok vielen Dank für deine Hilfe..
> Noch eine letzte Frage.
>
> Wie kommt man auf den Schritt vor dem "also z = 1/x"
>
> Diese Zeile meine ich: =
> [mm]\integral_{\alpha}^{1}{\bruch{-1}{x^2}(\bruch{-1}{\bruch{1}{x}})sin{\bruch{1}{x}}dx}[/mm]
>
> Wie kommt man darauf?
Wenn man z=1/x hat folgt doch [mm] dz/dx=-1/x^2
[/mm]
also steht jetzt im Integral -1/z*(sin(z)*dz/dx*dx= -1/z*(sin(z)*dz
wie habt ihr die Substitutionsregel gelernt?
Gruss leduart
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