Uneigentliches Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:59 So 02.06.2013 | | Autor: | phil555 |
| Aufgabe | Transformiere das uneigentliche Integral
I = [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{(1+x^2)^{4/3}} dx}
[/mm]
mit Hilfe der Substitution [mm] t=\bruch{1}{1+x} [/mm] in ein Integral mit endlichen Intervallgrenzen. |
Hallo zusammen!
Die entsprechende Regel zur Lösung des Problems müsste müsste die Folgende sein:
I = [mm] \integral_{x1}^{x2}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{t(x1)}^{t(x2)}{f(x(t))\* \bruch{d(x(t))}{dt}\*dt}
[/mm]
wobei [mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{t^2}
[/mm]
[mm] x=\bruch{1}{t}-1, \bruch{dx}{dt}=\bruch{-1}{t^2} [/mm] gelten müsste.
Damit würde sich doch erstmal Folgendes ergeben (oder?):
I = [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{dt}{(2+\bruch{1}{t^2} - \bruch{2}{t})^{4/3}}}\*\bruch{1}{t^2}
[/mm]
Wenn ich jetzt jedoch weiter rechne komme ich auf:
[mm] I=\integral_{0}^{1}{\bruch{dt}{(2t^3 + t^{-1} - 2t)^{2/3}}},
[/mm]
was laut Wolfram Alpha [mm] \approx [/mm] 0.798 ergibt, während bei Integration des Ausgangsintegrals [mm] \approx [/mm] 1.12025 rauskommen soll.
Ich habe diese Aufgabe schon zig mal durchgerechnet. Wo steckt der Fehler????? Für jede Hilfe wäre ich sehr sehr dankbar!!!
Gruß, Phil
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Phil,
der Fehler ist eigentlich ziemlich einfach. Wahrscheinlich hast Du nur schon zu oft kontrolliert. Irgendwann sieht alles so vertraut aus, dass man es für richtig hält.
> Transformiere das uneigentliche Integral
> I = [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{(1+x^2)^{4/3}} dx}[/mm]
>
> mit Hilfe der Substitution [mm]t=\bruch{1}{1+x}[/mm] in ein Integral
> mit endlichen Intervallgrenzen.
> Hallo zusammen!
> Die entsprechende Regel zur Lösung des Problems müsste
> müsste die Folgende sein:
>
> I = [mm]\integral_{x1}^{x2}{f(x) dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{t(x1)}^{t(x2)}{f(x(t))\* \bruch{d(x(t))}{dt}\*dt}[/mm]
Soweit gut.
> wobei [mm]\bruch{dt}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{-1}{t^2}[/mm]
> [mm]x=\bruch{1}{t}-1, \bruch{dx}{dt}=\bruch{-1}{t^2}[/mm] gelten
> müsste.
Nein, diese Ableitung stimmt nicht. Rechne das nochmal nach.
Bist Du übrigens sicher, dass die Aufgabe wirklich so aussieht wie oben? Mir kommt das eigenartig vor.
Grüße
reverend
> Damit würde sich doch erstmal Folgendes ergeben (oder?):
> I = [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{dt}{(2+\bruch{1}{t^2} - \bruch{2}{t})^{4/3}}}\*\bruch{1}{t^2}[/mm]
>
> Wenn ich jetzt jedoch weiter rechne komme ich auf:
> [mm]I=\integral_{0}^{1}{\bruch{dt}{(2t^3 + t^{-1} - 2t)^{2/3}}},[/mm]
>
> was laut Wolfram Alpha [mm]\approx[/mm] 0.798 ergibt, während bei
> Integration des Ausgangsintegrals [mm]\approx[/mm] 1.12025
> rauskommen soll.
>
> Ich habe diese Aufgabe schon zig mal durchgerechnet. Wo
> steckt der Fehler????? Für jede Hilfe wäre ich sehr sehr
> dankbar!!!
>
> Gruß, Phil
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 So 02.06.2013 | | Autor: | phil555 |
...danke für den Hinweis, die erste Ableitung muss natürlich lauten:
[mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{(1+x)^2} [/mm] (allerdings brauch man diese Ableitung danach gar nicht mehr, wie mir grade aufgefallen ist)
Die Ableitung [mm] \bruch{dx}{dt} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{t^2} [/mm] müsste aber doch richtig sein?! Das ist auch die Ableitung, die ich für die weiteren Berechnungen verwendet habe..
Ja, die Aufgabe lautet tatsächlich so, ist allerdings nur Teil einer größeren Aufgabe.
Gruß, Phil
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Hallo phil555,
> ...danke für den Hinweis, die erste Ableitung muss
> natürlich lauten:
>
> [mm]\bruch{dt}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{-1}{(1+x)^2}[/mm] (allerdings brauch man
> diese Ableitung danach gar nicht mehr, wie mir grade
> aufgefallen ist)
>
> Die Ableitung [mm]\bruch{dx}{dt}[/mm] = [mm]-\bruch{1}{t^2}[/mm] müsste aber
> doch richtig sein?! Das ist auch die Ableitung, die ich
> für die weiteren Berechnungen verwendet habe..
>
Diese Ableitung ist auch richtig.
> Ja, die Aufgabe lautet tatsächlich so, ist allerdings nur
> Teil einer größeren Aufgabe.
>
> Gruß, Phil
Gruss
MathePower
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Hallo phil555,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Transformiere das uneigentliche Integral
> I = [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{(1+x^2)^{4/3}} dx}[/mm]
>
> mit Hilfe der Substitution [mm]t=\bruch{1}{1+x}[/mm] in ein Integral
> mit endlichen Intervallgrenzen.
> Hallo zusammen!
> Die entsprechende Regel zur Lösung des Problems müsste
> müsste die Folgende sein:
>
> I = [mm]\integral_{x1}^{x2}{f(x) dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{t(x1)}^{t(x2)}{f(x(t))\* \bruch{d(x(t))}{dt}\*dt}[/mm]
>
> wobei [mm]\bruch{dt}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{-1}{t^2}[/mm]
> [mm]x=\bruch{1}{t}-1, \bruch{dx}{dt}=\bruch{-1}{t^2}[/mm] gelten
> müsste.
>
> Damit würde sich doch erstmal Folgendes ergeben (oder?):
> I = [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{dt}{(2+\bruch{1}{t^2} - \bruch{2}{t})^{4/3}}}\*\bruch{1}{t^2}[/mm]
>
> Wenn ich jetzt jedoch weiter rechne komme ich auf:
> [mm]I=\integral_{0}^{1}{\bruch{dt}{(2t^3 + t^{-1} - 2t)^{2/3}}},[/mm]
>
Hier ist ein Umformungsfehler passiert.
Ich erhalte:
[mm]I=\integral_{0}^{1}{\bruch{dt}{(2t^{\blue{3/2}} + t^{-\blue{1/2}} - 2t^{\blue{1/2}})^{4/3}}}[/mm]
> was laut Wolfram Alpha [mm]\approx[/mm] 0.798 ergibt, während bei
> Integration des Ausgangsintegrals [mm]\approx[/mm] 1.12025
> rauskommen soll.
>
> Ich habe diese Aufgabe schon zig mal durchgerechnet. Wo
> steckt der Fehler????? Für jede Hilfe wäre ich sehr sehr
> dankbar!!!
>
> Gruß, Phil
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:43 So 02.06.2013 | | Autor: | phil555 |
...Ja, das ist es!!!  Vielen vielen Dank!!!
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