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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Sa 30.05.2009 | | Autor: | AngusRF |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass sich die Graphen der Funktionen f und g in genau einem Punkt schneiden, und geben Sie auch die Koordinaten des Schnittpunktes an!
a) [...]
b) f(x) = [mm] (2-e^{x})^{2}; [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] und g(x) = (3 - [mm] e^{x})^{2}; [/mm] x [mm] \in \IR
[/mm]
Aus: Stark Verlag, Abiturtraining Analysis LK |
Hallo ihr alle,
mein Problem ist nicht der Schnittpunkt, sondern, dass ich die Gleichungen (beide Funktionen gleichgesetzt) auf zwei Wege mit zwei unterschiedlichen Ergebnissen lösen kann:
[mm] (2-e^{x})^{2} [/mm] = [mm] (3-e^{x})^{2} [/mm] | [mm] \wurzel{}
[/mm]
[mm] 2-e^{x} [/mm] = [mm] 3-e^{x} [/mm] | + [mm] e^{x}
[/mm]
2 = 3
g und f hätten also keinen Schnittpunkt. Zuerst hab ich gedacht, ich dürfte vielleicht die Wurzel nicht ziehen, aber: Substituiert sieht die Gleichung ja so aus:
[mm] a^{2} [/mm] = [mm] b^{2}
[/mm]
Beide Seiten sind also [mm] \ge [/mm] 0 und deshalb ist die Wurzel definiert.
Jetzt der andere Weg:
[mm] (2-e^{x})^{2} [/mm] = [mm] (3-e^{x})^{2} [/mm] | Ausmultiplizieren
4 - [mm] 4e^{x} [/mm] + [mm] e^{2x} [/mm] = 9 - [mm] 6e^{x} [/mm] + [mm] e^{2x} [/mm] | [mm] -e^{2x}; [/mm] -4; [mm] +6e^{x}
[/mm]
[mm] 2e^{x} [/mm] = 5
x = [mm] \ln{2,5}
[/mm]
Demnach hätten g und f jetzt einen Schnittpunkt bei [mm] (\ln{2,5}| f(\ln{2,5})). [/mm] Diese letztere Lösung wird auch als einzige in der Lösung vom Stark angegeben.
Hab ich jetzt beim ersten Weg doch einen Fehler gemacht, oder an was liegt des?
Vielen Dank schon mal und liebe Grüße
Markus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo Angus,
> Zeigen Sie, dass sich die Graphen der Funktionen f und g in
> genau einem Punkt schneiden, und geben Sie auch die
> Koordinaten des Schnittpunktes an!
> a) [...]
> b) f(x) = [mm](2-e^{x})^{2};[/mm] x [mm]\in \IR[/mm] und g(x) = (3 -
> [mm]e^{x})^{2};[/mm] x [mm]\in \IR[/mm]
>
> Aus: Stark Verlag, Abiturtraining Analysis LK
> Hallo ihr alle,
>
> mein Problem ist nicht der Schnittpunkt, sondern, dass ich
> die Gleichungen (beide Funktionen gleichgesetzt) auf zwei
> Wege mit zwei unterschiedlichen Ergebnissen lösen kann:
>
> [mm](2-e^{x})^{2}[/mm] = [mm](3-e^{x})^{2}[/mm] | [mm]\wurzel{}[/mm]
> [mm]2-e^{x}[/mm] = [mm]3-e^{x}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") | + [mm]e^{x}[/mm]
> 2 = 3
>
> g und f hätten also keinen Schnittpunkt. Zuerst hab ich
> gedacht, ich dürfte vielleicht die Wurzel nicht ziehen,
> aber: Substituiert sieht die Gleichung ja so aus:
> [mm]a^{2}[/mm] = [mm]b^{2}[/mm]
> Beide Seiten sind also [mm]\ge[/mm] 0 und deshalb ist die Wurzel
> definiert.
>
> Jetzt der andere Weg:
>
> [mm](2-e^{x})^{2}[/mm] = [mm](3-e^{x})^{2}[/mm] |
> Ausmultiplizieren
> 4 - [mm]4e^{x}[/mm] + [mm]e^{2x}[/mm] = 9 - [mm]6e^{x}[/mm] + [mm]e^{2x}[/mm] | [mm]-e^{2x};[/mm]
> -4; [mm]+6e^{x}[/mm]
> [mm]2e^{x}[/mm] = 5
> x = [mm]\ln{2,5}[/mm]
>
> Demnach hätten g und f jetzt einen Schnittpunkt bei
> [mm](\ln{2,5}| f(\ln{2,5})).[/mm] Diese letztere Lösung wird auch
> als einzige in der Lösung vom Stark angegeben.
>
> Hab ich jetzt beim ersten Weg doch einen Fehler gemacht,
> oder an was liegt des?
Das liegt an dem Schritt, wo du die Wurzel gezogen hast.
Es ist [mm] $\sqrt{a^2}=|a|$ [/mm] und nicht "nur" a.
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> Vielen Dank schon mal und liebe Grüße
>
> Markus
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
LG
schachuzipus
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