Unendl. Reihe in (P(X),Delta) < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Do 15.09.2011 | | Autor: | Marcel |
| Aufgabe | Sei $X [mm] \not=\emptyset$ [/mm] eine Menge und wir betrachten die kommutative Gruppe [mm] $(P(X),\Delta)$ [/mm] mit der auf der Potenzmenge $P(X)$ definierten "Addition" [mm] $\Delta: [/mm] P(X) [mm] \times [/mm] P(X) [mm] \to [/mm] P(X)$ definiert durch die symmetrische Differenz $A [mm] \Delta [/mm] B:=(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)=(A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \setminus A)\,.$ [/mm] Dann konvergiert [mm] $(S_n)_{n \in \IN}$ [/mm] definiert durch
[mm] $$S_n:=\sum_{k=1}^n A_k=A_1 \Delta A_2 \Delta \ldots \Delta A_n$$
[/mm]
genau dann, wenn [mm] $A_n \to \emptyset\,.$
[/mm]
Dabei sind alle [mm] $A_n \subseteq [/mm] X$, und die Konvergenz von [mm] $S_n$ [/mm] ist im mengentheoretischen Sinne zu verstehen, d.h. dass dann
[mm] $$\overline{\lim}S_n=\bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k \ge n}S_n=\underline{\lim}S_n=\bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{k \ge n}S_n=S=:\lim S_n$$
[/mm]
gilt. |
Hallo zusammen,
zu obiger Aufgabenstellung, entnommen aus Elstrodt - Maß- und Integrationstheorie - habe ich zwei Fragen:
1.) Ist mein Lösungsweg über die Indikatorfunktionen [mm] $\chi$ [/mm] richtig?
Dazu eine Vorbemerkung:
Für $A,B [mm] \subseteq [/mm] X$ gilt [mm] $\chi_{A \Delta B}=\chi_{(A \setminus B) \cup (B \setminus A)}=\chi_{A \setminus B}+\chi_{B \setminus A}-\chi_{(A \setminus B)\cap (B \setminus A)}=\chi_{A \setminus B}+\chi_{B \setminus A}=\chi_{A \cap B^c}+\chi_{B \cap A^c}=\chi_{A}(1-\chi_B)+\chi_B(1-\chi_A)=\chi_A+\chi_B-2\chi_A\chi_B\,.$
[/mm]
Fazit:
[mm] $$\mathbf{\chi_{A \Delta B}=\chi_A+\chi_B-2\chi_A\chi_B\,.}$$
[/mm]
Im Elstrodt steht nun auch die Aufgabe, welche ich, denke ich, richtig bewiesen habe, dass eine Folge [mm] $(A_n)_n$ [/mm] von Mengen aus $X$ genau dann gegen $A [mm] \subseteq [/mm] X$ konvergiert, wenn [mm] $\chi_{A_n} \to \chi_A$ [/mm] (punktweise!).
Damit gehe ich nun den Beweis hier an:
Es gilt nämlich
[mm] $$\chi_{S_{n+1}}=\chi_{S_n \Delta A_{n+1}}$$
[/mm]
und nach obigem Fazit
[mm] $$\chi_{S_{n+1}}=\chi_{S_n}+\chi_{A_{n+1}}-2\chi_{S_n}\chi_{A_{n+1}}\,.$$
[/mm]
Für jedes $x [mm] \in [/mm] X$ also
[mm] $$\chi_{S_{n+1}}(x)=\chi_{S_n}(x)+\chi_{A_{n+1}}(x)-2\chi_{S_n}(x)\chi_{A_{n+1}}(x)\,.$$
[/mm]
Für ein (von [mm] $x\,$ [/mm] abhängiges) genügend großes $N$ folgt dann, dass [mm] $\chi_{S_n}(x)$ [/mm] entweder stets [mm] $=0\,$ [/mm] oder [mm] $=1\,$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ ist. (Weil ja [mm] $\chi_{S_n}(x)$ [/mm] entweder gegen [mm] $0\,$ [/mm] oder gegen [mm] $1\,$ [/mm] konvergiert!)
In beiden Fällen entsteht dann die Gleichung
[mm] $$\chi_{A_{n+1}}(x)=2*\chi_{S_n}(x)\chi_{A_{n+1}}(x)$$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge N=N(x)\,.$
[/mm]
Falls nun [mm] $\chi_{S_n}(x)=0$ [/mm] ab dem [mm] $N\,$ [/mm] ist, so muss [mm] $\chi_{A_{n+1}}(x)=0$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gelten.
Ist nun [mm] $\chi_{S_{n}}(x)=1\,,$ [/mm] so kann aber nur [mm] $\chi_{A_{n+1}}(x)=0$ [/mm] gelten - denn es ist ja [mm] $\chi_{A_{n+1}}(x) \le [/mm] 1$ - und damit muss [mm] $\chi_{A_{n+1}}(x)=0$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gelten.
In allen Fällen folgt also, dass für jedes $x [mm] \in [/mm] X$ ein $N=N(x)$ existiert, so dass [mm] $\chi_{A_n}(x)=0$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N\,.$ [/mm] Also folgt [mm] $\chi_{A_n} \to [/mm] 0$ (punktweise) und damit [mm] $A_n \to \emptyset\,.$
[/mm]
Soweit korrekt?
2.) Gibt es einen Beweis der obigen Aussage, der "direkt", d.h. nur durch mengentheoretische Betrachtungen, funktioniert (also kein Umweg über diese Indikatorfunktionen)? Hat dafür jemand eine Idee?
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 Fr 16.09.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Marcel!
> Sei [mm]X \not=\emptyset[/mm] eine Menge und wir betrachten die
> kommutative Gruppe [mm](P(X),\Delta)[/mm] mit der auf der
> Potenzmenge [mm]P(X)[/mm] definierten "Addition" [mm]\Delta: P(X) \times P(X) \to P(X)[/mm]
> definiert durch die symmetrische Differenz [mm]A \Delta B:=(A \cup B) \setminus (A \cap B)=(A \setminus B) \cup (B \setminus A)\,.[/mm]
> Dann konvergiert [mm](S_n)_{n \in \IN}[/mm] definiert durch
> [mm]S_n:=\sum_{k=1}^n A_k=A_1 \Delta A_2 \Delta \ldots \Delta A_n[/mm]
>
> genau dann, wenn [mm]A_n \to \emptyset\,.[/mm]
> Dabei sind alle [mm]A_n \subseteq X[/mm],
> und die Konvergenz von [mm]S_n[/mm] ist im mengentheoretischen Sinne
> zu verstehen, d.h. dass dann
> [mm]\overline{\lim}S_n=\bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k \ge n}S_n=\underline{\lim}S_n=\bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{k \ge n}S_n=S=:\lim S_n[/mm]
>
> gilt.
>
> Hallo zusammen,
>
> zu obiger Aufgabenstellung, entnommen aus Elstrodt - Maß-
> und Integrationstheorie - habe ich zwei Fragen:
>
> 1.) Ist mein Lösungsweg über die Indikatorfunktionen [mm]\chi[/mm]
> richtig?
>
> Dazu eine Vorbemerkung:
> Für [mm]A,B \subseteq X[/mm] gilt [mm]\chi_{A \Delta B}=\chi_{(A \setminus B) \cup (B \setminus A)}=\chi_{A \setminus B}+\chi_{B \setminus A}-\chi_{(A \setminus B)\cap (B \setminus A)}=\chi_{A \setminus B}+\chi_{B \setminus A}=\chi_{A \cap B^c}+\chi_{B \cap A^c}=\chi_{A}(1-\chi_B)+\chi_B(1-\chi_A)=\chi_A+\chi_B-2\chi_A\chi_B\,.[/mm]
>
> Fazit:
> [mm]\mathbf{\chi_{A \Delta B}=\chi_A+\chi_B-2\chi_A\chi_B\,.}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Im Elstrodt steht nun auch die Aufgabe, welche ich, denke
> ich, richtig bewiesen habe, dass eine Folge [mm](A_n)_n[/mm] von
> Mengen aus [mm]X[/mm] genau dann gegen [mm]A \subseteq X[/mm] konvergiert,
> wenn [mm]\chi_{A_n} \to \chi_A[/mm] (punktweise!).
>
> Damit gehe ich nun den Beweis hier an:
> Es gilt nämlich
> [mm]\chi_{S_{n+1}}=\chi_{S_n \Delta A_{n+1}}[/mm]
> und nach obigem
> Fazit
>
> [mm]\chi_{S_{n+1}}=\chi_{S_n}+\chi_{A_{n+1}}-2\chi_{S_n}\chi_{A_{n+1}}\,.[/mm]
>
> Für jedes [mm]x \in X[/mm] also
>
> [mm]\chi_{S_{n+1}}(x)=\chi_{S_n}(x)+\chi_{A_{n+1}}(x)-2\chi_{S_n}(x)\chi_{A_{n+1}}(x)\,.[/mm]
>
> Für ein (von [mm]x\,[/mm] abhängiges) genügend großes [mm]N[/mm] folgt
> dann, dass [mm]\chi_{S_n}(x)[/mm] entweder stets [mm]=0\,[/mm] oder [mm]=1\,[/mm] für
> alle [mm]n \ge N[/mm] ist. (Weil ja [mm]\chi_{S_n}(x)[/mm] entweder gegen [mm]0\,[/mm]
> oder gegen [mm]1\,[/mm] konvergiert!)
Du zeigst also die Implikation [mm] "$S_n$ [/mm] konvergiert [mm] $\Rightarrow$ $A_n \to \emptyset$".
[/mm]
(Die andere Richtung ist mit den von dir verwendeten Hilfsmitteln allerdings auch sehr einfach.)
> In beiden Fällen entsteht dann die Gleichung
> [mm]\chi_{A_{n+1}}(x)=2*\chi_{S_n}(x)\chi_{A_{n+1}}(x)[/mm]
> für alle [mm]n \ge N=N(x)\,.[/mm]
>
> Falls nun [mm]\chi_{S_n}(x)=0[/mm] ab dem [mm]N\,[/mm] ist, so muss
> [mm]\chi_{A_{n+1}}(x)=0[/mm] für alle [mm]n \ge N[/mm] gelten.
>
> Ist nun [mm]\chi_{S_{n}}(x)=1\,,[/mm] so kann aber nur
> [mm]\chi_{A_{n+1}}(x)=0[/mm] gelten - denn es ist ja
> [mm]\chi_{A_{n+1}}(x) \le 1[/mm] - und damit muss
> [mm]\chi_{A_{n+1}}(x)=0[/mm] für alle [mm]n \ge N[/mm] gelten.
>
> In allen Fällen folgt also, dass für jedes [mm]x \in X[/mm] ein
> [mm]N=N(x)[/mm] existiert, so dass [mm]\chi_{A_n}(x)=0[/mm] für alle [mm]n \ge N\,.[/mm]
> Also folgt [mm]\chi_{A_n} \to 0[/mm] (punktweise) und damit [mm]A_n \to \emptyset\,.[/mm]
>
> Soweit korrekt?
Ja, sieht gut aus. (Fuer die eine Implikation.)
> 2.) Gibt es einen Beweis der obigen Aussage, der "direkt",
> d.h. nur durch mengentheoretische Betrachtungen,
> funktioniert (also kein Umweg über diese
> Indikatorfunktionen)? Hat dafür jemand eine Idee?
Du kannst natuerlich Indikatorfunktionen weglassen, indem du ein Element $x [mm] \in [/mm] X$ nimmst und immer diskutierst "liegt $x$ im Grenzwert / in einer Menge oder nicht?", du wirst mit etwas mehr Aufwand im wesentlichen den gleichen Beweis bekommen. Die Indikatorfunktionen erlauben halt, das schoener aufzuschreiben.
Direkter geht es so:
Sind $A, B$ zwei Teilmengen von $X$, so gilt $(A [mm] \delta [/mm] B) [mm] \cup [/mm] B = A [mm] \cup [/mm] B$. Damit ist [mm] $\bigcup_{k \ge n} S_k [/mm] = [mm] \bigcup_{k \ge n} A_k$ [/mm] und [mm] $\overline{\lim} S_n [/mm] = [mm] \overline{\lim} A_n$.
[/mm]
Weiterhin gilt fuer $A, B [mm] \subseteq [/mm] X$, dass $(A [mm] \delta [/mm] B) [mm] \cap [/mm] B = B [mm] \setminus [/mm] A$ ist. Behauptung: [mm] $\bigcap_{k \ge n} S_k [/mm] = [mm] \emptyset$. [/mm] Angenommen, es gibt ein $x [mm] \in \bigcap_{k \ge n} S_k$. [/mm] Ist $k [mm] \ge [/mm] n$, so gilt insbesondere $x [mm] \in S_k$ [/mm] und $x [mm] \in S_{k+1} [/mm] = [mm] S_k \Delta A_{k+1}$. [/mm] Das bedeutet aber, dass $x [mm] \in A_{k+1} \setminus S_k$ [/mm] liegt. Das geht jedoch nicht, da $x$ im Schnitt aller [mm] $S_k$ [/mm] mit $k [mm] \ge [/mm] n$ liegt... Folglich gilt also [mm] $\underline{\lim} S_n [/mm] = [mm] \bigcup_{n \ge 1} \bigcap_{k \ge n} S_k [/mm] = [mm] \emptyset$.
[/mm]
Daraus folgt jetzt: [mm] $\underline{\lim} S_n [/mm] = [mm] \overline{S_n} \Leftrightarrow \overline{\lim} A_n [/mm] = [mm] \emptyset \underset{\underline{\lim} A_n \subseteq \overline{\lim} A_n}{\Leftrightarrow} A_n \to \emptyset$.
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:48 Fr 16.09.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Felix,
> Moin Marcel!
>
> > Sei [mm]X \not=\emptyset[/mm] eine Menge und wir betrachten die
> > kommutative Gruppe [mm](P(X),\Delta)[/mm] mit der auf der
> > Potenzmenge [mm]P(X)[/mm] definierten "Addition" [mm]\Delta: P(X) \times P(X) \to P(X)[/mm]
> > definiert durch die symmetrische Differenz [mm]A \Delta B:=(A \cup B) \setminus (A \cap B)=(A \setminus B) \cup (B \setminus A)\,.[/mm]
> > Dann konvergiert [mm](S_n)_{n \in \IN}[/mm] definiert durch
> > [mm]S_n:=\sum_{k=1}^n A_k=A_1 \Delta A_2 \Delta \ldots \Delta A_n[/mm]
>
> >
> > genau dann, wenn [mm]A_n \to \emptyset\,.[/mm]
> > Dabei sind alle
> [mm]A_n \subseteq X[/mm],
> > und die Konvergenz von [mm]S_n[/mm] ist im mengentheoretischen Sinne
> > zu verstehen, d.h. dass dann
> > [mm]\overline{\lim}S_n=\bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k \ge n}S_n=\underline{\lim}S_n=\bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{k \ge n}S_n=S=:\lim S_n[/mm]
>
> >
> > gilt.
> >
> > Hallo zusammen,
> >
> > zu obiger Aufgabenstellung, entnommen aus Elstrodt - Maß-
> > und Integrationstheorie - habe ich zwei Fragen:
> >
> > 1.) Ist mein Lösungsweg über die Indikatorfunktionen [mm]\chi[/mm]
> > richtig?
> >
> > Dazu eine Vorbemerkung:
> > Für [mm]A,B \subseteq X[/mm] gilt [mm]\chi_{A \Delta B}=\chi_{(A \setminus B) \cup (B \setminus A)}=\chi_{A \setminus B}+\chi_{B \setminus A}-\chi_{(A \setminus B)\cap (B \setminus A)}=\chi_{A \setminus B}+\chi_{B \setminus A}=\chi_{A \cap B^c}+\chi_{B \cap A^c}=\chi_{A}(1-\chi_B)+\chi_B(1-\chi_A)=\chi_A+\chi_B-2\chi_A\chi_B\,.[/mm]
>
> >
> > Fazit:
> > [mm]\mathbf{\chi_{A \Delta B}=\chi_A+\chi_B-2\chi_A\chi_B\,.}[/mm]
>
>
>
> > Im Elstrodt steht nun auch die Aufgabe, welche ich, denke
> > ich, richtig bewiesen habe, dass eine Folge [mm](A_n)_n[/mm] von
> > Mengen aus [mm]X[/mm] genau dann gegen [mm]A \subseteq X[/mm] konvergiert,
> > wenn [mm]\chi_{A_n} \to \chi_A[/mm] (punktweise!).
> >
> > Damit gehe ich nun den Beweis hier an:
> > Es gilt nämlich
> > [mm]\chi_{S_{n+1}}=\chi_{S_n \Delta A_{n+1}}[/mm]
> > und nach
> obigem
> > Fazit
> >
> >
> [mm]\chi_{S_{n+1}}=\chi_{S_n}+\chi_{A_{n+1}}-2\chi_{S_n}\chi_{A_{n+1}}\,.[/mm]
> >
> > Für jedes [mm]x \in X[/mm] also
> >
> >
> [mm]\chi_{S_{n+1}}(x)=\chi_{S_n}(x)+\chi_{A_{n+1}}(x)-2\chi_{S_n}(x)\chi_{A_{n+1}}(x)\,.[/mm]
> >
> > Für ein (von [mm]x\,[/mm] abhängiges) genügend großes [mm]N[/mm] folgt
> > dann, dass [mm]\chi_{S_n}(x)[/mm] entweder stets [mm]=0\,[/mm] oder [mm]=1\,[/mm] für
> > alle [mm]n \ge N[/mm] ist. (Weil ja [mm]\chi_{S_n}(x)[/mm] entweder gegen [mm]0\,[/mm]
> > oder gegen [mm]1\,[/mm] konvergiert!)
>
> Du zeigst also die Implikation "[mm]S_n[/mm] konvergiert [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]A_n \to \emptyset[/mm]".
>
> (Die andere Richtung ist mit den von dir verwendeten
> Hilfsmitteln allerdings auch sehr einfach.)
Ja, da hast Du Recht. Ich hatte den Beweis zuerst ein wenig anders - an einer Stelle hatte ich quasi einen Fehler, aber wenn der nicht gewesen wäre, so hätte ich beide Richtungen in einem bewiesen. Durch diese Fehlerkorrektur hat sich an meinem Beweis aber in der Tat ergeben, dass ich nur noch eine Richtung im Beweis zeige. Da das aber bei der Korrektur "ein wenig untergegangen" ist, war mir das nicht aufgefallen und erst durch Deinen Hinweis habe ich gerade nochmal gesehen, dass mein Aufschrieb so an einer Stelle auch die Voraussetzung der von Dir angegebenen Beweisrichtung benutzt. Danke für den Hinweis - mir wäre das jetzt gar nicht mehr so schnell aufgefallen. 
> > In beiden Fällen entsteht dann die Gleichung
> > [mm]\chi_{A_{n+1}}(x)=2*\chi_{S_n}(x)\chi_{A_{n+1}}(x)[/mm]
> > für alle [mm]n \ge N=N(x)\,.[/mm]
> >
> > Falls nun [mm]\chi_{S_n}(x)=0[/mm] ab dem [mm]N\,[/mm] ist, so muss
> > [mm]\chi_{A_{n+1}}(x)=0[/mm] für alle [mm]n \ge N[/mm] gelten.
> >
> > Ist nun [mm]\chi_{S_{n}}(x)=1\,,[/mm] so kann aber nur
> > [mm]\chi_{A_{n+1}}(x)=0[/mm] gelten - denn es ist ja
> > [mm]\chi_{A_{n+1}}(x) \le 1[/mm] - und damit muss
> > [mm]\chi_{A_{n+1}}(x)=0[/mm] für alle [mm]n \ge N[/mm] gelten.
> >
> > In allen Fällen folgt also, dass für jedes [mm]x \in X[/mm] ein
> > [mm]N=N(x)[/mm] existiert, so dass [mm]\chi_{A_n}(x)=0[/mm] für alle [mm]n \ge N\,.[/mm]
> > Also folgt [mm]\chi_{A_n} \to 0[/mm] (punktweise) und damit [mm]A_n \to \emptyset\,.[/mm]
>
> >
> > Soweit korrekt?
>
> Ja, sieht gut aus. (Fuer die eine Implikation.)
Gut, danke!
> > 2.) Gibt es einen Beweis der obigen Aussage, der "direkt",
> > d.h. nur durch mengentheoretische Betrachtungen,
> > funktioniert (also kein Umweg über diese
> > Indikatorfunktionen)? Hat dafür jemand eine Idee?
>
> Du kannst natuerlich Indikatorfunktionen weglassen, indem
> du ein Element [mm]x \in X[/mm] nimmst und immer diskutierst "liegt
> [mm]x[/mm] im Grenzwert / in einer Menge oder nicht?", du wirst mit
> etwas mehr Aufwand im wesentlichen den gleichen Beweis
> bekommen. Die Indikatorfunktionen erlauben halt, das
> schoener aufzuschreiben.
Ja, mir geht es schon um einen anderen Weg - nicht um ein im wesentlichen bloßes Umschreiben der obigen Idee.
> Direkter geht es so:
Ja, genau darauf wollte ich hinaus:
> Sind [mm]A, B[/mm] zwei Teilmengen von [mm]X[/mm], so gilt [mm](A \delta B) \cup B = A \cup B[/mm].
> Damit ist [mm]\bigcup_{k \ge n} S_k = \bigcup_{k \ge n} A_k[/mm] und
> [mm]\overline{\lim} S_n = \overline{\lim} A_n[/mm].
>
> Weiterhin gilt fuer [mm]A, B \subseteq X[/mm], dass [mm](A \delta B) \cap B = B \setminus A[/mm]
> ist. Behauptung: [mm]\bigcap_{k \ge n} S_k = \emptyset[/mm].
> Angenommen, es gibt ein [mm]x \in \bigcap_{k \ge n} S_k[/mm]. Ist [mm]k \ge n[/mm],
> so gilt insbesondere [mm]x \in S_k[/mm] und [mm]x \in S_{k+1} = S_k \Delta A_{k+1}[/mm].
> Das bedeutet aber, dass [mm]x \in A_{k+1} \setminus S_k[/mm] liegt.
> Das geht jedoch nicht, da [mm]x[/mm] im Schnitt aller [mm]S_k[/mm] mit [mm]k \ge n[/mm]
> liegt... Folglich gilt also [mm]\underline{\lim} S_n = \bigcup_{n \ge 1} \bigcap_{k \ge n} S_k = \emptyset[/mm].
>
> Daraus folgt jetzt: [mm]\underline{\lim} S_n = \overline{S_n} \Leftrightarrow \overline{\lim} A_n = \emptyset \underset{\underline{\lim} A_n \subseteq \overline{\lim} A_n}{\Leftrightarrow} A_n \to \emptyset[/mm].
Vielen Dank, das muss ich mir jetzt demnächst nochmal in Ruhe zu Gemüte führen!
Grüße,
Marcel
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