Unendlichdim. C^k Quotient < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] I=\{f\in C^{k}(\IR)| f(0)=0\} [/mm] und [mm] J=\{f\in I | f'(0)=0\}
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] dim(J/I^{2})=\infty [/mm] |
Hallo,
um zu zeigen, dass dieser Vektorraum unendliche Dimension hat, wollte ich eine unendliche Folge von modulo [mm] I^{2} [/mm] linear unabhängigen Funktionen hinschreiben. Mir fällt nämlich nicht ein, wie man das sonst anstellen könnte. Das Problem ist allerdings, dass es wohl garnicht so einfach ist, so eine Folge zu finden und dann auch noch zu erkennen/ zu beweisen, dass die mod [mm] I^{2} [/mm] tatsächlich unabhängig ist. Das erste, was mir eingefallen ist, war zum Beispiel nicht [mm] C^{k} [/mm] etc.
Eine mögliche Folge wäre [mm] cos(nx)-1 [/mm], wobei ich nicht weiß, ob eine solche Funktion in [mm] I^{2} [/mm] liegt oder nicht und ob die dann auch noch linear unabhängig sind. Woran kann man das denn erkennen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:56 Fr 17.05.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]I=\{f\in C^{k}(\IR)| f(0)=0\}[/mm] und [mm]J=\{f\in I | f'(0)=0\}[/mm]
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> Zeigen Sie, dass [mm]dim(J/I^{2})=\infty[/mm]
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> Hallo,
> um zu zeigen, dass dieser Vektorraum unendliche Dimension
> hat, wollte ich eine unendliche Folge von modulo [mm]I^{2}[/mm]
> linear unabhängigen Funktionen hinschreiben. Mir fällt
> nämlich nicht ein, wie man das sonst anstellen könnte.
> Das Problem ist allerdings, dass es wohl garnicht so
> einfach ist, so eine Folge zu finden und dann auch noch zu
> erkennen/ zu beweisen, dass die mod [mm]I^{2}[/mm] tatsächlich
> unabhängig ist. Das erste, was mir eingefallen ist, war
> zum Beispiel nicht [mm]C^{k}[/mm] etc.
>
> Eine mögliche Folge wäre [mm]cos(nx)-1 [/mm], wobei ich nicht
> weiß, ob eine solche Funktion in [mm]I^{2}[/mm] liegt oder nicht
> und ob die dann auch noch linear unabhängig sind. Woran
> kann man das denn erkennen?
Warum nicht direkt [mm] $\cos(n [/mm] x)$? Dann liegt sie garantiert nicht in [mm] $I^2$, [/mm] da jede Funktion $f$ in [mm] $I^2$ [/mm] insbesondere $f(0) = 0$ erfuellt.
Allerdings sind [mm] $\cos(n [/mm] x)$ und [mm] $\cos(m [/mm] x)$ nicht linear unabhaengig: die Differenz $f(x) = [mm] \cos(n [/mm] x) - [mm] \cos(m [/mm] x) = [mm] (\cos(n [/mm] x) - 1) - [mm] (\cos(m [/mm] x) - 1)$ ist durch $g(x) = [mm] x^2$ [/mm] teilbar, womit sie in [mm] $I^2$ [/mm] liegt.
Allgemein: sind $f$ und $g$ ![[]](/images/popup.gif) analytisch und in $J$, so sind sie linear abhaengig modulo [mm] $J^2$: [/mm] man kann sie in dem Fall als $f(x) = f(0) + [mm] x^2 \hat{f}(x)$ [/mm] und $g(x) = g(0) + [mm] x^2 \hat{g}(x)$ [/mm] schreiben, womit sie modulo [mm] $I^2$ [/mm] beide konstant sind und somit linear abhaengig.
Du brauchst also Funktionen, die nicht analytisch sind.
LG Felix
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