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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:25 Mo 01.11.2004 | | Autor: | Fry |
Hallo alle zusammen ! :)
Es gilt: M = { f : |N /rightarrow {0,1}} . M ist also die Menge aller Funktionen von |N in die zweielementige Menge {0,1}. Zeigen Sie M ist überabzählbar.
Meine Lösung:
Dazu benutzte ich das Cantorsche Diagonalverfahren.
Sei [mm] a_n [/mm] = a_n1 , a_n2, a_n3, a_n4 ... eine mögliche Folge.
Man nimmt an, die Menge M wäre abzählbar.
Eine Anordnung aller [mm] a_n [/mm] sieht dann folgendermaßen aus:
[mm] a_1 [/mm] = a_11, a_12, a_13, a_14 ...
[mm] a_2 [/mm] = a_21, a_22, a_23, a_24 ...
[mm] a_3 [/mm] = a_31, a_32, a_33, a_34 ...
[mm] a_4 [/mm] = a_41, a_42, a_43, a_44 ...
....
Man konstruiert nun eine andere Folge [mm] c_n, [/mm] die in der oberen Darstellung nicht enthalten ist, über die Folgenglieder a_11,a_22,a_33 etc.
[mm] c_n [/mm] = c_n1, c_n2, c_n3, c_n4 , ...
c_nn = 0, falls a_nn = 1
= 1, falls a_nn = 0
So garantiert man,dass sich diese Folgen [mm] c_n [/mm] von den anderen Folgen in a_nn unterscheiden. Man hat also eine Folgen gefunden,die oben nicht aufgelistet ist. Widerspruch. Folglich ist M überabzählbar.
Ist das richtig bzw. wie man das denn besser formulieren ?
MfG
Fry
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Hallo Fry,
Wie viele Folgen brauchst du um einen Widerspruch zu erzeugen?
gruß
mathemaduenn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:11 Mo 01.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fry,
> Hallo alle zusammen ! :)
>
> Es gilt: M = { f : |N /rightarrow {0,1}} . M ist also die
> Menge aller Funktionen von |N in die zweielementige Menge
> {0,1}. Zeigen Sie M ist überabzählbar.
>
> Meine Lösung:
> Dazu benutzte ich das Cantorsche Diagonalverfahren.
> Sei [mm]a_n[/mm] = a_n1 , a_n2, a_n3, a_n4 ... eine mögliche
> Folge.
> Man nimmt an, die Menge M wäre abzählbar.
> Eine Anordnung aller [mm]a_n[/mm] sieht dann folgendermaßen aus:
>
> [mm]a_1[/mm] = a_11, a_12, a_13, a_14 ...
> [mm]a_2[/mm] = a_21, a_22, a_23, a_24 ...
> [mm]a_3[/mm] = a_31, a_32, a_33, a_34 ...
> [mm]a_4[/mm] = a_41, a_42, a_43, a_44 ...
> ....
>
> Man konstruiert nun eine andere Folge [mm]c_n,[/mm] die in der
> oberen Darstellung nicht enthalten ist, über die
> Folgenglieder a_11,a_22,a_33 etc.
>
> [mm]c_n[/mm] = c_n1, c_n2, c_n3, c_n4 , ...
>
> c_nn = 0, falls a_nn = 1
> = 1, falls a_nn = 0
So ist das irgendwie verwirrend notiert. Das sieht so aus, als ob du mehrere Folgen konstruieren wolltest, aber eigentlich willst du nur eine konstruieren/definieren.
(Ich nehme an, du meinst eigentlich:
c_1k:=0, falls a_kk=1
:=1, falls a_kk=0.
Weil: Bei deiner Notation unterscheidet der erste Index Folgen untereinander, du konstruierst aber nur eine Folge. Du brauchst der neu konstruierten Folge ja dann eigentlich keinen ersten Index zu geben, weil du ja nur eine Folge konstruierst. Wenn du das aber dennoch so durchziehen willst, dann musst du den ersten Index einmal fest wählen. Nur fragt man sich dann, welchen Sinn das ganze dann hat, in der neu konstruierten Folge zwei Indizes zu vergeben... Eine verwirrende Notation hast du da benutzt...)
Du konstruierst ja nicht mehrere Folgen, sondern nur eine Folge.
Vielleicht würdest du das ganze besser so notieren:
Sei [mm] $(a_n^{(j)})_{n \in \IN}$ [/mm] (für festes $j [mm] \in \IN$) [/mm] eine mögliche Folge. Eine Anordnung aller Folgen wäre dann:
[mm](a^{(1)}_n)_{n \in \IN}[/mm] = [mm] a_1^{(1)},\,\, a_2^{(1)},\,\, a_3^{(1)},\,\, a_4^{(1)} [/mm] ...
[mm](a^{(2)}_n)_{n \in \IN}[/mm] = [mm] a_1^{(2)},\,\, a_2^{(2)},\,\, a_3^{(2)},\,\, a_4^{(2)} [/mm] ...
[mm](a^{(3)}_n)_{n \in \IN}[/mm] = [mm] a_1^{(3)},\,\, a_2^{(3)},\,\, a_3^{(3)},\,\, a_4^{(3)} [/mm] ...
[mm](a^{(4)}_n)_{n \in \IN}[/mm] = [mm] a_1^{(4)},\,\, a_2^{(4)},\,\, a_3^{(4)},\,\, a_4^{(4)} [/mm] ...
....
(wobei mich jeweils das Gleichheitszeichen etwas stört, aber ich weiß schon, in welchem Sinne du es verwendest. Ich würde einfach nur:
[mm] $a_1^{(1)},\,\, a_2^{(1)},\,\, a_3^{(1)},\,\, a_4^{(1)} [/mm] ...$
[mm] $a_1^{(2)},\,\, a_2^{(2)},\,\, a_3^{(2)},\,\, a_4^{(2)} [/mm] ...$
[mm] $a_1^{(3)},\,\, a_2^{(3)},\,\, a_3^{(3)},\,\, a_4^{(3)} [/mm] ...$
[mm] $a_1^{(4)},\,\, a_2^{(4)},\,\, a_3^{(4)},\,\, a_4^{(4)} [/mm] ...$
$....$
als mögliche Abzählung hinschreiben!)
Und nun konstruierst du eine Folge [mm] $(c_n)_{n \in \IN}$, [/mm] die in obiger Abzählung nicht enthalten ist, durch:
[m]c_k:=\left\{\begin{matrix}
0, & \mbox{\,\,falls }a_k^{(k)}=1 \\
1, & \mbox{\,\,falls }a_k^{(k)}=0
\end{matrix}\right.[/m]
(und die Folgenglieder dieser Folge sind dann ja nach Konstruktion stets [mm] $\in \{0,1\}$.)
[/mm]
So sollte das formal passen. Deine Idee war richtig, aber deine Notation leider verwirrend und fehlerhaft.
Viele Grüße,
Marcel
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