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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 Do 03.03.2005 | | Autor: | DaSaver |
Hallo!
Hab folgende Frage. Gegeben ist eine konvergente unendliche Reihe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n+1}}{n2^{n}} [/mm]
Jetzt soll man davon einen geschlossenen Ausdruck berechnen. Mir ist schon klar dass man hier wohl die geometrische Reihe benutzen muss, aber wie kriege ich dieses n im Nenner weg?... Wäre nett wenn mir mal einer den Ansatz sagen würde.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:26 Do 03.03.2005 | | Autor: | Max |
Hi DaSaver,
ich würde nicht die geometrische Reihe benutzen, es gilt doch
[mm] $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n2^n}=x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\cdot \frac{x^n}{2^n}= [/mm] x [mm] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \left(\frac{x}{2}\right)^n$
[/mm]
Wenn ich mich täusche müsste die Reihe die Taylorreihe von [mm] $-\log\left(1-\frac{x}{2}\right)$ [/mm] sein.
Es gilt nämlich für [mm] $f(y)=\log(1-y)$
[/mm]
[mm] $f^{(n)}(y)= [/mm] - [mm] \frac{(n-1)!}{y-1} \Rightarrow f^{(n)}(0)=-(n-1)! \Rightarrow f(y)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0) y^n}{n!} [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{-(n-1)!y^n}{n!}= [/mm] - [mm] \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} y^n$
[/mm]
Also gilt [mm] $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n2^n}=-x \log\left(1-\frac{x}{2}\right)$.
[/mm]
Gruß Brackhaus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:33 Do 03.03.2005 | | Autor: | DaSaver |
Jep, die ln(1-x) Reihe hab ich ganz vergessen. :) Danke.
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