Unendlichkeit der Primzahlen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Also ich hab mir jetzt mal überlegt, dass es eben aus dem Grund [mm] \summe_{i\ge k+1}^{} \left[ \bruch{N}{p_{i}} \right] \le \summe_{i\ge k+1}^{} \bruch{N}{p_{i}} [/mm] heißen muss, weil die linke Seite ja alles ganzzahlige Vielfache von [mm] p_{i} [/mm] sind. Jetzt mal ein Zahlenbeispiel eingeschoben, nehmen wir an wir haben N=80 und die erste große Primzahl [mm] p_{k+1}=7, [/mm] dann würde der erste Summand [mm] \left[ \bruch{N}{p_{k+1}} \right] [/mm] = 11 sein...
Auf der Rechten Seite hingegen wäre der erste Summand aber [mm] \bruch{N}{p_{k+1}}=\bruch{80}{7}>11 [/mm] und mit den folgenden Summanden müsste es ja ähnlich verlaufen... Macht das alles so Sinn?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:18 Di 02.06.2009 | | Autor: | pelzig |
Hey du
[mm] $\left[x\right]\le [/mm] x$ gilt doch immer.
Gruß, Robert
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Vielen Dank für deine Antwort!
Wie meinst du das, versteh ich irgendwie nicht so richtig.
Bei den Klammern handelt es sich ja nicht um den Betrag, sondern um die ganzahligen Vielfachen von einer Primzahl.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:52 Di 02.06.2009 | | Autor: | pelzig |
Ich habe mir den Beweis nicht genauer angeschaut. Aber meines Erachtens nach geht es um [mm] $\lfloor x\rfloor:=\max\{z\in\IZ:z\le x\}$. [/mm] Dann ist [mm] $\lfloor x\rfloor\le [/mm] x$ stets erfüllt.
Gruß, Robert
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Achso, dann ist es doch einfach nur die Gaußklammer. Im Text beim Buch der Beweise steht folgendes: "... [mm] \lfloor \bruch{N}{p_{i}}\rfloor [/mm] zählt die positiven ganzen Zahlen n [mm] \le [/mm] N, die Vielfache von [mm] p_{i} [/mm] sind."
Aber im Prinzip ist das ja das gleiche wie die Definition der Gaußklammer, oder nicht?
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> Achso, dann ist es doch einfach nur die Gaußklammer. Im
> Text beim Buch der Beweise steht folgendes: "... [mm]\lfloor \bruch{N}{p_{i}}\rfloor[/mm]
> zählt die positiven ganzen Zahlen n [mm]\le[/mm] N, die Vielfache
> von [mm]p_{i}[/mm] sind."
> Aber im Prinzip ist das ja das gleiche wie die Definition
> der Gaußklammer, oder nicht?
Die Definition der Gaussklammer bezieht sich einfach
auf eine reelle Zahl x, die dabei auf die nächstkleinere
ganze Zahl abgerundet wird.
Sind N und [mm] p_i [/mm] natürliche Zahlen sind, entspricht [mm] $\lfloor \bruch{N}{p_{i}}\rfloor$
[/mm]
der Anzahl der natürlichen Zahlen k, für welche $\ [mm] k*p_i\le [/mm] N$.
Betrachte dazu ein Beispiel wie etwa N=100 und [mm] p_i=17.
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Do 04.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mi 03.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:50 Do 04.06.2009 | | Autor: | cluedo |
Hi,
es gibt doch sonst auch noch den schönen indirekten Beweis von Euklid:
Nehmen wir an, es gibt nur endlich viele Primzahlen, dann können wir sie alle der Reihe nach aufschreiben: [mm] $p_1 [/mm] < [mm] p_2 <\cdots [/mm] < [mm] p_n$. [/mm] Nun betrachten wir die Zahl [mm] $Z:=p_1\cdot p_2\cdots p_n [/mm] + 1$ Diese Zahl ist offenbar durch keine der Primzahlen [mm] $p_1,\dots,p_n$ [/mm] Teilbar. Also muss die Primfaktorzerlegung von $Z$ noch eine weitere Primzahl [mm] $\not\in\{p_1,\dots,p_n\}$ [/mm] enthalten. Damit ist unsere Annahme falsch und die unendlichkeit der Primzahlen gezeigt.
Den Beweis finde ich ein bisschen schöner und auch gut logisch verständlich.
grüße
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http://www.mathematic.de/beweise/primenumbers-erdoes2.html