Unendlichkeit von Primzahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 Di 15.04.2008 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Menge [mm] $A:=\left\{ 4n-1: n\in\mathbb{N} \right\} [/mm] $.
(a) Schreiben Sie sieben paarweise verschiedene Zahlen der Menge [mm] $A\cap\mathbb{P}$ [/mm] auf, wobei [mm] $\mathbb{P}$ [/mm] die Menge der Primzahlen darstellen soll.
(b) Zeigen Sie, dass die Menge $A$ unendlich viele Primzahlen enthält. |
Hallo zusammen,
wäre Euch sehr dankbar, wenn Ihr meinen Beweis zu (b) überprüfen könntet.
Zunächst zu (a): Die ersten Zahlen von A sind:
3,7,11,19,23,27,31,35,39...
die ersten Primzahlen in A sind:
3,7,11,19,23,31,43...
Zu (b): Für den Beweis soll ähnlich wie beim Beweis der Unendlichkeit der Primzahlen eine Zahl [mm] $x:=a\cdot q_1\cdot q_2 \cdots q_k [/mm] +b$ für zwei ganze Zahlen [mm] $a,b\in\mathbb{Z}$ [/mm] und Primzahlen [mm] $q_1,...,q_k$ [/mm] aus $A$ betrachtet werden.
Angenommen ich betrachte die ersten $k$ Primzahlen $ [mm] q_1,...,q_k [/mm] $ in $A$. Dann würde ich im "normalen Beweis" der Unendlichkeit der Menge der Primzahlen mir ja den kleinsten Teiler von $x$ für $a=b=1$ anschauen. Problem ist schon mal, dass für $a=b=1$ die Summe nicht notwendigerweise wieder in $A$ liegt (z.B. [mm] $1\cdot [/mm] 3 [mm] \cdot [/mm] 7 +1=22 [mm] \notin [/mm] A$). Also muss ich zunächst schauen, dass $a$ und $b$ so gewählt werden, dass die obige Summe wieder in $A$ liegt. Die einzige Wahl, die für mich sofort stimmig ist, ist $a:=4$ und $b=-1$ (das Produkt der [mm] $q_k$ [/mm] ist stets eine natürlich Zahl, also liegt $x$ in $A$). Dann besitzt $x$ einen kleinsten positiven Teiler $t>1$, der prim ist. Würde $t$ mit einem [mm] $q_k$ [/mm] übereinstimmen, würde $t$ das Produkt [mm] $4\cdot q_1\cdots q_k$ [/mm] teilen. Aus $t|x$ und $t| [mm] 4\cdot q_1\cdots q_k$ [/mm] folgt mit [mm] $1=4\cdot q_1\cdots q_k [/mm] -x$, dass $t|1$ gelten muss. Hieraus folgt $t=1$ oder $t=-1$, was einen Widerspruch zur Voraussetzung $t>1$ darstellt.
Vielen Dank für Eure Hilfe und viele Grüße
Gregor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:35 Mi 16.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Gregor
> Betrachten Sie die Menge [mm]A:=\left\{ 4n-1: n\in\mathbb{N} \right\} [/mm].
>
> (a) Schreiben Sie sieben paarweise verschiedene Zahlen der
> Menge [mm]A\cap\mathbb{P}[/mm] auf, wobei [mm]\mathbb{P}[/mm] die Menge der
> Primzahlen darstellen soll.
> (b) Zeigen Sie, dass die Menge [mm]A[/mm] unendlich viele
> Primzahlen enthält.
>
> Hallo zusammen,
> wäre Euch sehr dankbar, wenn Ihr meinen Beweis zu (b)
> überprüfen könntet.
> Zunächst zu (a): Die ersten Zahlen von A sind:
> 3,7,11,19,23,27,31,35,39...
> die ersten Primzahlen in A sind:
> 3,7,11,19,23,31,43...
Ich glaube dir jetzt einfach mal dass 31 und 43 Primzahlen sind  (Ist mir grad zu spaet darueber nachzudenken  )
> Zu (b): Für den Beweis soll ähnlich wie beim Beweis der
> Unendlichkeit der Primzahlen eine Zahl [mm]x:=a\cdot q_1\cdot q_2 \cdots q_k +b[/mm]
> für zwei ganze Zahlen [mm]a,b\in\mathbb{Z}[/mm] und Primzahlen
> [mm]q_1,...,q_k[/mm] aus [mm]A[/mm] betrachtet werden.
>
> Angenommen ich betrachte die ersten [mm]k[/mm] Primzahlen
> [mm]q_1,...,q_k[/mm] in [mm]A[/mm]. Dann würde ich im "normalen Beweis" der
> Unendlichkeit der Menge der Primzahlen mir ja den kleinsten
> Teiler von [mm]x[/mm] für [mm]a=b=1[/mm] anschauen. Problem ist schon mal,
> dass für [mm]a=b=1[/mm] die Summe nicht notwendigerweise wieder in [mm]A[/mm]
> liegt (z.B. [mm]1\cdot 3 \cdot 7 +1=22 \notin A[/mm]). Also muss ich
> zunächst schauen, dass [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] so gewählt werden, dass die
> obige Summe wieder in [mm]A[/mm] liegt. Die einzige Wahl, die für
> mich sofort stimmig ist, ist [mm]a:=4[/mm] und [mm]b=-1[/mm] (das Produkt der
> [mm]q_k[/mm] ist stets eine natürlich Zahl, also liegt [mm]x[/mm] in [mm]A[/mm]). Dann
> besitzt [mm]x[/mm] einen kleinsten positiven Teiler [mm]t>1[/mm], der prim
> ist. Würde [mm]t[/mm] mit einem [mm]q_k[/mm] übereinstimmen, würde [mm]t[/mm] das
> Produkt [mm]4\cdot q_1\cdots q_k[/mm] teilen. Aus [mm]t|x[/mm] und [mm]t| 4\cdot q_1\cdots q_k[/mm]
> folgt mit [mm]1=4\cdot q_1\cdots q_k -x[/mm], dass [mm]t|1[/mm] gelten muss.
> Hieraus folgt [mm]t=1[/mm] oder [mm]t=-1[/mm], was einen Widerspruch zur
> Voraussetzung [mm]t>1[/mm] darstellt.
Hier fehlt ein entscheidener Punkt: liegt $t$ in $A$? Bzw. gibt es irgendeinen Primfaktor von $x = 4 [mm] q_1 \cdots q_k [/mm] - 1$, der in $A$ liegt?
Erstmal: 2 ist kein Primfaktor von $x$. Also ist jeder Primfaktor ungerade, und fuer solche gilt entweder $p [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{4}$ [/mm] oder $p [mm] \equiv [/mm] -1 [mm] \pmod{4}$ [/mm] (wir suchen einen mit $p [mm] \equiv [/mm] -1 [mm] \pmod{4}$). [/mm] Du weisst jetzt, dass $x [mm] \equiv [/mm] -1 [mm] \pmod{4}$ [/mm] gilt. Schreibe $x = [mm] p_1 \cdots p_r$ [/mm] mit Primzahlen [mm] $p_1, \dots, p_r$. [/mm] Was kannst du ueber die [mm] $p_i$ [/mm] modulo 4 aussagen? Also wieviele koennen hoechstens/mindestens 1 bzw. -1 sein?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 Mi 16.04.2008 | | Autor: | grenife |
Hallo Felix,
vielen Dank für den Hinweis!
> Ich glaube dir jetzt einfach mal dass 31 und 43 Primzahlen
> sind (Ist mir grad zu spaet darueber nachzudenken
> )
hab ich auch extra bei Wikipedia nachgeschaut
hmm, an die Frage, ob $t$ in $A$ liegt hab ich tatsächlich nicht gedacht. Mir ist Deine Argumentationskette klar, Du versuchst zu zeigen, dass für den Teiler [mm] $t\equiv [/mm] -1 [mm] \pmod [/mm] {4}$ gilt, und damit würde er in $A$ liegen. $x$ besitzt als notwendigerweise ungerade Zahl nicht die $2$ als Primfaktor, und für jeden ungeraden Primfaktor gilt $t [mm] \equiv [/mm] -1 [mm] \pmod{4}$ [/mm] oder $t [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{4}$. [/mm] Beim nächsten Schritt komme ich aber auch mit Deinem Tipp nicht weiter:-(. Ich schreibe [mm] $x=p_1\cdot p_2 \cdot ...\cdot p_r$. [/mm] $x$ ergibt bei Division durch 4 den Rest -1. Aber was sagt mir das über einen der (oder alle) Primfaktoren aus? Ich schreibe mal einfach meine Gedanken auf. Unerwünscht ist ja nur der Fall, dass für ALLE Primfaktoren [mm] $p_i \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{4}$ [/mm] gilt. Nur da fällt mir auch schon wieder nicht der letzte entscheidende Kniff ein
Viele Grüße
Gregor
> Hier fehlt ein entscheidener Punkt: liegt [mm]t[/mm] in [mm]A[/mm]? Bzw. gibt
> es irgendeinen Primfaktor von [mm]x = 4 q_1 \cdots q_k - 1[/mm], der
> in [mm]A[/mm] liegt?
>
> Erstmal: 2 ist kein Primfaktor von [mm]x[/mm]. Also ist jeder
> Primfaktor ungerade, und fuer solche gilt entweder [mm]p \equiv 1 \pmod{4}[/mm]
> oder [mm]p \equiv -1 \pmod{4}[/mm] (wir suchen einen mit [mm]p \equiv -1 \pmod{4}[/mm]).
> Du weisst jetzt, dass [mm]x \equiv -1 \pmod{4}[/mm] gilt. Schreibe [mm]x = p_1 \cdots p_r[/mm]
> mit Primzahlen [mm]p_1, \dots, p_r[/mm]. Was kannst du ueber die [mm]p_i[/mm]
> modulo 4 aussagen? Also wieviele koennen
> hoechstens/mindestens 1 bzw. -1 sein?
>
> LG Felix
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Hallo Gregor,
versuch mal folgendes:
Definiere eine Menge B:={4n+1|n in N}. Alle Elemente von B liegen in B (alle Produkte liegen in B, was man zeigen muss) und ein gradzahliges Produkt aus deiner Menge A liegt auch in B (ein ungeradzahliges Produkt liegt wieder in A). Wenn du jetzt eine Zahl x betrachtest mit x = [mm] 4*(q_{1}..q_{n}) [/mm] - 1 und [mm] q_{1}..q_{n} \in [/mm] A, dann liegt x auf jeden Fall in A (das muss man beweisen). Und jetzt kann man nach Euklid vorgehen:
Dazu gebe dir die Primdarstellung von a vor, also z.B. [mm] p_{1},..,p_{t}. [/mm] Alle Primzahlen [mm] q_{1},..,q_{n} [/mm] sind von [mm] p_{1},..,p_{t} [/mm] verschieden (warum?). Nun muss aber trotzdem eine der Zahlen [mm] q_{j} [/mm] aus A sein, denn sonst wäre das Produkt [mm] p_{1}..p_{t} [/mm] nicht in A, sondern in B (warum?)
Wenn man es so macht, müsste es eigentlich gehen (ich habe es zumindest so). Ich denke das Felix auf sowas ähnliches hinaus wollte.
Machst du auch gerade EZ an der Fernuni?
Grüße, Steffen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 Mi 16.04.2008 | | Autor: | grenife |
Hallo Steffen,
japp, EZ an der FernUni. Leider kann man dort ja nicht die eigenen Ansätze und Lösungen diskutieren, so dass ich hierhin ausgewichen bin.
So wie ich das sehe, versuchst Du Dich ja an nem doch etwas anderen Ansatz oder versuchst Du ebenfalls nur noch den letzten Schritt in meinem Beweis (also die Frage, ob der ominöse Teiler von x in der Menge A liegt) zu klären?
> Definiere eine Menge B:={4n+1|n in N}. Alle Elemente von B
> liegen in B
ich glaube, das dürfte klar
(alle Produkte liegen in B, was man zeigen
> muss)
denke relativ einfach, ich nehme [mm] $(4n_1+1)\dot (4n_2+1)$, [/mm] multipliziere das aus und kürze auf eine Form $4m+1$ mit [mm] $m=4n_1n_2+n_1+n_2$.
[/mm]
>und ein gradzahliges Produkt aus deiner Menge A liegt
Was meinst Du denn genau mit einem gradzahligen Produkt?
Viele Grüße
Gregor
> auch in B (ein ungeradzahliges Produkt liegt wieder in A).
> Wenn du jetzt eine Zahl x betrachtest mit x =
> [mm]4*(q_{1}..q_{n})[/mm] - 1 und [mm]q_{1}..q_{n} \in[/mm] A, dann liegt x
> auf jeden Fall in A (das muss man beweisen). Und jetzt kann
> man nach Euklid vorgehen:
> Dazu gebe dir die Primdarstellung von a vor, also z.B.
> [mm]p_{1},..,p_{t}.[/mm] Alle Primzahlen [mm]q_{1},..,q_{n}[/mm] sind von
> [mm]p_{1},..,p_{t}[/mm] verschieden (warum?). Nun muss aber trotzdem
> eine der Zahlen [mm]q_{j}[/mm] aus A sein, denn sonst wäre das
> Produkt [mm]p_{1}..p_{t}[/mm] nicht in A, sondern in B (warum?)
>
> Wenn man es so macht, müsste es eigentlich gehen (ich habe
> es zumindest so). Ich denke das Felix auf sowas ähnliches
> hinaus wollte.
>
> Machst du auch gerade EZ an der Fernuni?
>
> Grüße, Steffen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:21 Mi 16.04.2008 | | Autor: | grenife |
Hi Felix,
vielen Dank für den letzten Hinweis, hab jetzt alles bewiesen. Zeige den letzten Schritt nun per Induktion nach der Anzahl der Primfaktoren...aber sehr sehr umfangreich der ganze Beweis tsts
Viele Grüße
Gregor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Mi 16.04.2008 | | Autor: | grenife |
Hi,
Probleme über Probleme Mir ist gerade aufgefallen, dass ich zwar zeigen kann, dass ein Teiler $t$ von $x$ in $A$ liegen muss, aber damit weiß ich doch noch nicht, dass dies zwangsläufig auch der kleinste Teiler von $x$ ist oder habe ich da etwas übersehen?
Viele Grüße
Gregor
> Hallo
>
> > So wie ich das sehe, versuchst Du Dich ja an nem doch etwas
> > anderen Ansatz oder versuchst Du ebenfalls nur noch den
> > letzten Schritt in meinem Beweis (also die Frage, ob der
> > ominöse Teiler von x in der Menge A liegt) zu klären?
>
> Ich denke er will ebenfalls nur den letzten Teil klearen.
>
> > > Definiere eine Menge B:={4n+1|n in N}. Alle Elemente von B
> > > liegen in B
> >
> > ich glaube, das dürfte klar
>
> Ja
>
> > > (alle Produkte liegen in B, was man zeigen
> > > muss)
> >
> > denke relativ einfach, ich nehme [mm](4n_1+1)\dot (4n_2+1)[/mm],
> > multipliziere das aus und kürze auf eine Form [mm]4m+1[/mm] mit
> > [mm]m=4n_1n_2+n_1+n_2[/mm].
>
> Genau.
>
> > >und ein gradzahliges Produkt aus deiner Menge A liegt
> >
> > Was meinst Du denn genau mit einem gradzahligen Produkt?
>
> Eine gradzahlige Anzahl von Faktoren.
>
> Aber mal anders. Wenn du [mm]x = p_1 \cdots p_r[/mm] schreibst und
> annimmst, dass alle [mm]p_i[/mm] von der Form [mm]4 n_i + 1[/mm] sind, dann
> ist auch [mm]x[/mm] von der Form [mm]4 n + 1[/mm], also insbesondere nicht
> von der Form [mm]4 \hat{n} - 1[/mm].
>
> LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 Do 17.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hi Gregor,
> Probleme über Probleme Mir ist gerade aufgefallen, dass
> ich zwar zeigen kann, dass ein Teiler [mm]t[/mm] von [mm]x[/mm] in [mm]A[/mm] liegen
> muss, aber damit weiß ich doch noch nicht, dass dies
> zwangsläufig auch der kleinste Teiler von [mm]x[/mm] ist oder habe
> ich da etwas übersehen?
nein, du weisst nicht ob es der kleinste ist. Aber das ist auch voellig egal, es reicht schon dass ein Primteiler in $A$ liegt, da sich dieser Primteiler ebenfalls von den bisherigen Primzahlen in $A$ unterscheidet.
LG Felix
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