Ungerichtet, gewichteter Graph < Graphentheorie < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 Mo 25.06.2012 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Sei G = (V;E) ein ungerichteter, gewichteter Graph. Zeigen oder widerlegen Sie folgende Aussagen:
1. MST(G) ist eindeutig [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Alle Kantengewichte von G sind verschieden
2. Alle Kantengewichte von G sind verschieden [mm] $\Rightarrow$ [/mm] MST(G) ist eindeutig |
Hi Leute!
Ich soll obige Aufgabe lösen. Ich weiß aber leider nun so gar nicht was ich da machen soll. In meiner Vorlesung hab ich schon einige Algorithmen kennengelernt, die kürzeste Wege berechnen, bspw. Aber ich hab in meinen Unterlagen nichts stehen, wie man feststellen kann, ob ein Graph eindeutig ist wenn alle Kantengewichte unterschiedlich sind bzw. ob bei einem eindeutigen Graph auch alle Kantengewichte unterschiedlich sind.
Könnt ihr mir da helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:03 Di 26.06.2012 | | Autor: | Stoecki |
> Sei G = (V;E) ein ungerichteter, gewichteter Graph. Zeigen
> oder widerlegen Sie folgende Aussagen:
> 1. MST(G) ist eindeutig [mm]\Rightarrow[/mm] Alle Kantengewichte
> von G sind verschieden
> 2. Alle Kantengewichte von G sind verschieden [mm]\Rightarrow[/mm]
> MST(G) ist eindeutig
> Hi Leute!
>
> Ich soll obige Aufgabe lösen. Ich weiß aber leider nun so
> gar nicht was ich da machen soll. In meiner Vorlesung hab
> ich schon einige Algorithmen kennengelernt, die kürzeste
> Wege berechnen, bspw. Aber ich hab in meinen Unterlagen
> nichts stehen, wie man feststellen kann, ob ein Graph
> eindeutig ist wenn alle Kantengewichte unterschiedlich sind
> bzw. ob bei einem eindeutigen Graph auch alle
> Kantengewichte unterschiedlich sind.
>
> Könnt ihr mir da helfen?
ich denke du hast die aufgabenstellung nicht verstanden. du hast einen Graphen G gegeben und suchst in G einen minimal aufspannenden baum. deine aufgabe ist nun zu zeigen oder zu widerlegen, dass dieser minimalaufspannende baum eindeutig ist, wenn die kantengewichte unterschiedlich sind bzw die kantengewichte alle verschieden sind, wenn dieser minimal aufspannende baum eindeutig ist.
wie sieht denn ein minimalaufspannender baum aus? damit solltest du anfangen. versuche dann im nächsten schritt dir gegenbeispiele zu überlegen. klappt das nicht, baue den beweis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Di 26.06.2012 | | Autor: | bandchef |
Ich denke, ich hab die Aufgabe richtig verstanden. Ich hab nun nur das Problem, dass ich nicht weiß, was es bedeutet, wenn ein minimaler Spannbaum "eindeutig" ist. Ich gehe aber mal davon aus, dass "eindeutig" einen min. Spannbaum bezeichnet, der zyklenfrei ist und es im ganzen Graph nur einen einzigen min. Spannbaum gibt. Ist das soweit richtig?
Ich hab hier mal ein Bild online gestellt, dass meinen Versuch, die Aufgabe 2 zu belegen, zeigt: [Dateianhang nicht öffentlich]
Erklärung zum Bild:
(1)
Ist ein eindeutig minimalaufspannender Baum, da jede Kante zueinander verschiedene Werte hat. Außerdem ist der Graph komplett ungerichtet und zyklenfrei.
(2) und (3)
Der minimalaufspannende Baum in 2 ist ein anderer als der minimalaufspannende Baum in 3. Bei beiden minimalaufspannenden Bäumen wurde immer der gleiche Graph benutzt! Es gibt hier zwei gleiche Kantengewichte, die zudem noch einen Zyklus bilden würde.
Reicht das als Beispiel, dass für einen "eindeutigen", minimalaufspannenden, zyklenfreien Baum, zwingend ein Graph mit unterschiedlichen Kantengewichten notwendig ist?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:04 Mi 27.06.2012 | | Autor: | Stoecki |
> Ich denke, ich hab die Aufgabe richtig verstanden. Ich hab
> nun nur das Problem, dass ich nicht weiß, was es bedeutet,
> wenn ein minimaler Spannbaum "eindeutig" ist. Ich gehe aber
> mal davon aus, dass "eindeutig" einen min. Spannbaum
> bezeichnet, der zyklenfrei ist und es im ganzen Graph nur
> einen einzigen min. Spannbaum gibt. Ist das soweit
> richtig?
das zyklenfrei ist redundant. wäre der MST nicht zyklenfrei, wäre es kein baum mehr. eindeutig heißt einfach nur, dass die menge aller minimal aufspannenden bäume die kardinalität 1 hat. bei deinen skizzen unten kommt es mir vor allem so vor, dass du nicht verstanden hast, was minimal bedeutet. du hast dort zwar aufspannende bäume gezeichnet, jedoch sind 2 von 3 bäumen nicht minimal. minimal heißt, dass die summe der kantengewichte durch kantentausch nicht mehr gesenkt werden kann.das ist dort nicht gegeben
>
> Ich hab hier mal ein Bild online gestellt, dass meinen
> Versuch, die Aufgabe 2 zu belegen, zeigt: [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Erklärung zum Bild:
>
> (1)
> Ist ein eindeutig minimalaufspannender Baum, da jede Kante
> zueinander verschiedene Werte hat. Außerdem ist der Graph
> komplett ungerichtet und zyklenfrei.
>
> (2) und (3)
> Der minimalaufspannende Baum in 2 ist ein anderer als der
> minimalaufspannende Baum in 3. Bei beiden
> minimalaufspannenden Bäumen wurde immer der gleiche Graph
> benutzt! Es gibt hier zwei gleiche Kantengewichte, die
> zudem noch einen Zyklus bilden würde.
>
> Reicht das als Beispiel, dass für einen "eindeutigen",
> minimalaufspannenden, zyklenfreien Baum, zwingend ein Graph
> mit unterschiedlichen Kantengewichten notwendig ist?
die aufspannenden bäume in (2) und (3) sind schon mal nicht minimal aufspannend, sprich: es sind beides KEINE MST. minimal aufspannend wären die beiden bäume wenn du statt der kante mit gewicht 2 jeweils die andere kante mit gewicht 1 wählst.
gruß bernhard
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Mi 27.06.2012 | | Autor: | bandchef |
Wenn ich nun im Graph die beiden 1er-Kanten wähle und dafür die 2er-Kante rausstreiche, ist dann als der Graph minimalaufspannend. Dann ist er aber nicht mehr eindeutig, oder?
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Hallo,
zu 1) Gegenbeispiel:
Wähle den ![[]](/images/popup.gif) vollst. Graphen $\ [mm] K_3 [/mm] $ mit den Kantengewichten $\ [mm] w(k_1) [/mm] = [mm] w(k_2) [/mm] $ und $ [mm] w(k_3) [/mm] > [mm] w(k_1)$. [/mm]
Zb die Gewichte $ 1, 1, 2 $.
Der MTS ist eindeutig. Aber die Kantengewichte sind nicht alle verschieden.
Mit $ [mm] K_4 [/mm] $ lässt sich ebenfalls ein Gegenbeispiel konstruieren.
Viele Grüße
ChopSuey
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Hallo,
zur 2) hab ich mir folgendes überlegt (unter Umständen existiert eine viel geschicktere, kürzere Lösung).
Ich setze im Folgenden voraus, dass $ G $ zusammenhängend ist.
Behauptung: Alle Kantengewichte von G sind verschieden $ [mm] \Rightarrow [/mm] MST(G)$ ist eindeutig.
Jeder Spannbaum $\ T $ in $\ G = (E,K) $ (Ich hab mich an die deutsche Notation gehalten) hat die Ordnung $\ | E | = n $ und Größe $\ | K | = n-1 $
Falls ihr das nicht bewiesen habt, geht das über vollst. Induktion:
Sei $\ n = 1 $
$\ |E| = 1, | K | = 0 $
Der Graph ist der vollst. Graph $\ [mm] K_1 [/mm] $. Jeder vollst. Graph besitzt einen Spannbaum. In diesem Fall ist der Spannbaum $\ [mm] K_1$.
[/mm]
Sei $\ n = 2 $
$\ |E| = 2, | K | = 1$
Analog zum Induktionsbeginn.
Angenommen, die Behauptung gelte für bel. $\ n [mm] \in \IN [/mm] $:
Also $\ |E| = n, |K| = n-1 $
Induktionsschluss: $\ n [mm] \to [/mm] n+1 $:
Wir erweitern die Eckenmenge $\ E $ um die Ecke $\ [mm] e_{n+1} [/mm] $, also $\ E' = E [mm] \cup \{e_{n+1}\} [/mm] $. Dadurch erhöht sich aber ebenfalls die Kantenmenge $\ K $ um die neue Kante $\ [mm] k_{n} [/mm] = [mm] \{e_n,e_{n+1}\} [/mm] = [mm] e_ne_{n+1} [/mm] $. Also $\ | E | = n+1 $ und $\ | K' | = | K [mm] \cup \{e_n,e_{n+1}\} [/mm] | = (n - 1) + 1 = n $
Also gilt die Behauptung für alle $\ n [mm] \in \IN [/mm] $.
Sei nun $\ w:K [mm] \to \IR [/mm] $ die Gewichtsfunktion auf $\ G = (E, K) $. Es gilt nach Voraussetzung $\ [mm] w(k_i) \not= w(k_j) [/mm] $ für $ i [mm] \not= [/mm] j $.
Da wir gezeigt haben, dass jeder Spannbaum $\ T $ in $\ G $ dieselbe Ordnung $\ | E | = n $ hat und maximal genau $\ |K| = n-1 $ Kanten, hat das Gewicht des Spannbaums $ n-1$ Summanden:
$\ [mm] \sum_{k\in K(T)} w(k_i) [/mm] = [mm] \underbrace{w(k_0) + w(k_1) + ... + w(k_{n-1})}_{n-1\ \mbox{Summanden }}$
[/mm]
Da nach Voraussetzung nur unterschiedliche Kantengewichte $\ [mm] w(k_i) [/mm] $ zugelassen waren, ist das Gewicht jedes Spannbaums in $\ G $ eindeutig. Folglich ist auch das Minimum der Menge der Spannbäume Eindeutig. (Dass die Menge der Spannbäume nichtleer ist, wird garantiert durch die Tatsache dass $\ G $ zusammenhängend ist.) Also ist der minimale Spannbaum $\ MST$ eindeutig.
$\ [mm] \Box [/mm] $
Vielleicht hilft Dir das ja. Falls jemand Einwände hat, bitte reagieren.
Grüße
ChopSuey
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