Ungl. Induktionsbeweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir betrachten die folgende Ungleichungskette für alle n [mm] \in \IN [/mm] für beliebige p [mm] \in \IN0
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n-1} k^p \le \bruch{n^{p+1}}{p+1} \le \summe_{k=1}^{n} k^p
[/mm]
Beweisen Sie eine der beiden Ungleichungen mittels vollständiger Induktion.
Die Richtigkeit der Ungleichung [mm] \summe_{k=1}^{n-1} k^p \le \summe_{k=1}^{n} k^p [/mm]
ist offensichtlich und bringt Ihnen daher keine Punkte.)
Hinweis : Verwenden Sie an passender Stelle den binomischen Lehrsatz |
Induktionsannahme
A(n): [mm] \summe_{k=1}^{n}k^p \ge \bruch{n^{p+1}}{p+1}
[/mm]
Beweis durch vollständige Induktion
Induktionsanfang
Prüfe die Richtigkeit von A(1):
[mm] \summe_{k=1}^{1}k^p [/mm] = [mm] 1^p [/mm] = 1
[mm] \bruch{1^{p+1}}{p+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{p+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 1 [mm] \ge \bruch{1}{p+1}
[/mm]
Hiermit ist die Richtigkeit von A(1) gezeigt.
Induktionsvorraussetzung
A(n): [mm] \summe_{k=1}^{n}k^p \ge \bruch{n^{p+1}}{p+1} [/mm] gelte nun für jedes n.
Induktionsbehauptung
Dann gilt auch: A(n+1): [mm] \summe_{k=1}^{n+1}k^p \ge \bruch{(n+1)^{p+1}}{p+1}
[/mm]
Induktionsschluss
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}k^p [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}k^p [/mm] + [mm] (n+1)^p
[/mm]
[mm] \ge \bruch{n^{p+1}}{p+1} +(n+1)^p
[/mm]
Hier komme ich nicht weiter. Den Hinweis mit dem Binomischen Lehrsatz, kann ich hier auch nicht anwenden oder?
Ich könnte abschätzen, und den summanden am Ende weglassen. Dann wäre die Ungleichung immernoch erfüllt, da der Tei rechts noch kleiner wird?
Aber wie gehe ich nun vor?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:06 Sa 20.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich würd Bin LS auf [mm] (n+1)^{p+1} [/mm] in der Beh. anwenden, aber vielleicht reichts auch mit
[mm] (n+1)^p
[/mm]
schlimmstenfalls beide
anders kannst du nicht abschätzen.
gruss leduart
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Aber wenn ich auf [mm] (n+1)^p [/mm] den Satz anwende, habe ich wieder eine Summenformel im Ausdruck. Ich möchte mit meinem Ansatz doch später wieder auf die rechte Seite der Induktionsbehauptung kommen.
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> Aber wenn ich auf [mm](n+1)^p[/mm] den Satz anwende, habe ich wieder
> eine Summenformel im Ausdruck. Ich möchte mit meinem
> Ansatz doch später wieder auf die rechte Seite der
> Induktionsbehauptung kommen.
Hallo,
Du sagst es selbst: "später".
Auch wenn Du zunächst eine Summe hast, dann kann es doch sein, daß man diese zum Verschwinden bekommt. Möglicherweise erst nach 4711 Schritten, aber weg ist weg.
Schade, daß Du nicht zeigst, was Du bisher getan hast mit dem Binomischen Satz. Dann könnte man sehen, warum Du nicht weiterkommst - und könnte helfen, ohne alles selbst zu tippen...
Du hattest
> $ [mm] \summe_{k=1}^{n+1}k^p [/mm] $ = $ [mm] \summe_{k=1}^{n}k^p [/mm] $ + $ [mm] (n+1)^p [/mm] $
> $ [mm] \ge \bruch{n^{p+1}}{p+1} +(n+1)^p [/mm] $
[mm] =\bruch{1}{p+1}[\red{n^{p+1}} [/mm] + [mm] (p+1)*\blue{(n+1)^p}]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{p+1}[\red{(n+1)^{p+1}- \summe_{...}^{...}...} [/mm] + [mm] (p+1)*\blue{\summe_{?}^{?}???}]
[/mm]
So könntest Du es probieren und dann schauen, ob man mit [mm] \red{- \summe_{...}^{...}...}+(p+1)*\blue{\summe_{?}^{?}???} [/mm] etwas anfangen kann.
Gruß v. Angela
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