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| Aufgabe | Seien (a,b) [mm] \in \mathbb{R} [/mm] , a<b und f:(a,b) [mm] \to \mathbb{R} [/mm] eine diffbare Funktion.
Sei X eine Menge und V ein linearer Teilraum von [mm] $\mathbb{R}^{x}$ [/mm] mit $1 [mm] \in [/mm] V$ , $L: V [mm] \to \mathbb{R}$ [/mm] eine lin. Abbildung mit
$L(1) = 1$ , [mm] $\forall [/mm] g [mm] \in [/mm] V : (g [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] L(g) [mm] \ge [/mm] 0)$
Ist f konvex so gilt
f(L(g)) [mm] \le [/mm] L(f [mm] \circ [/mm] g) , g [mm] \in [/mm] V , [mm] \overline{g(X)} \subseteq [/mm] (a,b) |
Hallo,
Hier mal meine Ideen :
zuerst:
Behauptung: [mm] \forall x_{0} [/mm] in [mm] I^{\circ} [/mm] gilt:
$f(x) [mm] \ge f(x_{0}) [/mm] + [mm] f'(x_{0})(x-x_{0})$
[/mm]
Da f konvex ist folgt, dass f' monoton wachsend ist , wir müssen also nur zeigen, dass aus monoton wachsen die Behauptung folgt.
Sei [mm] x_{0} [/mm] in [mm] I^{\circ} [/mm] und x [mm] \in [/mm] I , mit x [mm] \neq x_{0}.
[/mm]
Ist [mm] x
mit dem Mittelwertsatz folgt nun
[mm] \frac{f(x) - f(x_{0})}{x-x_{0}} [/mm] = [mm] f'(\xi) \le (\ge) f'(x_{0}) [/mm] für ein [mm] \xi \in (x,x_{0}), [/mm] oder [mm] (x_{0},x)
[/mm]
damit also nach umformen:
$f(x) [mm] \ge f(x_{0}) [/mm] + [mm] f'(x_{0})(x-x_{0})$
[/mm]
damit erhalten wir:
$L(f(g)) [mm] \ge [/mm] L(k [mm] \cdot [/mm] g +d)$
$L(f(g)) [mm] \ge [/mm] k L(g) +d $
$L(f(g)) [mm] \ge k\cdot [/mm] z +d [mm] \ge [/mm] f(z) $
[mm] $\Rightarrow [/mm] L(f(g)) [mm] \ge [/mm] f(L(g)) $
Was meint ihr dazu?
Viele Grüße und Danke
Peter
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:10 Mo 24.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Seien (a,b) [mm]\in \mathbb{R}[/mm] , a<b und f:(a,b) [mm]\to \mathbb{R}[/mm]
> eine diffbare Funktion.
>
> Sei X eine Menge und V ein linearer Teilraum von
> [mm]\mathbb{R}^{x}[/mm]
Es ist wohl [mm]\mathbb{R}^{X}[/mm] gemeint.
> mit [mm]1 \in V[/mm] , [mm]L: V \to \mathbb{R}[/mm] eine lin.
> Abbildung mit
> [mm]L(1) = 1[/mm] , [mm]\forall g \in V : (g \ge 0 \Rightarrow L(g) \ge 0)[/mm]
>
> Ist f konvex so gilt
>
> f(L(g)) [mm]\le[/mm] L(f [mm]\circ[/mm] g) , g [mm]\in[/mm] V , [mm]\overline{g(X)} \subseteq[/mm] (a,b)
Komische Behauptung ...
Ich denke, Du sollst zeigen:
f(L(g)) [mm]\le[/mm] L(f [mm]\circ[/mm] g) für jedes g [mm] \in [/mm] V mit [mm]\overline{g(X)} \subseteq[/mm] (a,b).
> Hallo,
>
> Hier mal meine Ideen :
>
> zuerst:
> Behauptung: [mm]\forall x_{0}[/mm] in [mm]I^{\circ}[/mm] gilt:
> [mm]f(x) \ge f(x_{0}) + f'(x_{0})(x-x_{0})[/mm]
..... für alle x [mm] \in [/mm] I, wobei I=(a,b)
>
> Da f konvex ist folgt, dass f' monoton wachsend ist , wir
> müssen also nur zeigen, dass aus monoton wachsen die
> Behauptung folgt.
>
> Sei [mm]x_{0}[/mm] in [mm]I^{\circ}[/mm] und x [mm]\in[/mm] I , mit x [mm]\neq x_{0}.[/mm]
> Ist
> [mm]x
> oder [mm]f'(\xi) \ge f'(x_{0}) \hspace{0.5cm} \forall \xi \in (x,x_{0}),[/mm]
> oder [mm](x_{0},x)[/mm]
>
> mit dem Mittelwertsatz folgt nun
>
> [mm]\frac{f(x) - f(x_{0})}{x-x_{0}}[/mm] = [mm]f'(\xi) \le (\ge) f'(x_{0})[/mm]
> für ein [mm]\xi \in (x,x_{0}),[/mm] oder [mm](x_{0},x)[/mm]
>
> damit also nach umformen:
>
> [mm]f(x) \ge f(x_{0}) + f'(x_{0})(x-x_{0})[/mm]
Das ist O.K.
>
> damit erhalten wir:
>
> [mm]L(f(g)) \ge L(k \cdot g +d)[/mm]
> [mm]L(f(g)) \ge k L(g) +d[/mm]
> [mm]L(f(g)) \ge k\cdot z +d \ge f(z)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow L(f(g)) \ge f(L(g))[/mm]
Was bedeutet f(g) ?, Was ist k ?. Was ist d ?. Was ist z ?
>
>
> Was meint ihr dazu?
Dein Beweis ist nicht zu verstehen !
FRED
>
>
> Viele Grüße und Danke
>
> Peter
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Hallo,
Eigentlich haben wir ja im Ersten Schritt gesehen, dass es eine Funktion a(x) = a+bx gibt mit der Eigenschaft dass f(x) [mm] \ge [/mm] a(x). ( das haben wir über den MWST gezeigt )
Und dann die lineare Abbildung L auf diese Ungleichung angewendet. Damit erhalten wir dann
L(f(g)) [mm] \ge [/mm] L(kg +d)
Also wenden wir L rechts auf etwas der Form a+bx an , für das doe Ugl ja bereits gilt.
Oder - ist das völliger Schwachsinn ?
Lg Peter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:03 Mo 24.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> Eigentlich haben wir ja im Ersten Schritt gesehen, dass es
> eine Funktion a(x) = a+bx gibt mit der Eigenschaft dass
> f(x) [mm]\ge[/mm] a(x). ( das haben wir über den MWST gezeigt )
>
> Und dann die lineare Abbildung L auf diese Ungleichung
> angewendet. Damit erhalten wir dann
>
> L(f(g)) [mm]\ge[/mm] L(kg +d)
>
> Also wenden wir L rechts auf etwas der Form a+bx an , für
> das doe Ugl ja bereits gilt.
>
>
> Oder - ist das völliger Schwachsinn ?
Nicht ganz, aber überaus schlampig !
>
>
> Lg Peter
>
>
1. Ich hab Dir etwas zur Aufgabenstellung geschrieben. Dazu hast Du Dich nicht geäußert !
2. Was Du mit f(g) meinst, hast Du auch nicht verraten. OIch vermute Du meinst $f [mm] \circ [/mm] g$
3. oben kommen k und d vor. Was für eine Bedeutung haben die ???
4. Oben redest Du von a(x)=ax+b. Das sind schlechte Bezeichnungen, dann a, b sind die Intervallgrenzen.
4. auf (a,b) haben wir f(x) [mm] \ge [/mm] mx+c.
Setzen wir g(x) ein, so bekomment wir
$ f(g(x)) [mm] \ge [/mm] m*g(x)+c$
Die Monotonie und die Linearität von L liefert dann
$L(f [mm] \circ [/mm] g) [mm] \ge [/mm] mL(g)+c$
Jetzt Du.
FRED
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> > Hallo,
> >
> >
> > Eigentlich haben wir ja im Ersten Schritt gesehen, dass es
> > eine Funktion a(x) = a+bx gibt mit der Eigenschaft dass
> > f(x) [mm]\ge[/mm] a(x). ( das haben wir über den MWST gezeigt )
> >
> > Und dann die lineare Abbildung L auf diese Ungleichung
> > angewendet. Damit erhalten wir dann
> >
> > L(f(g)) [mm]\ge[/mm] L(kg +d)
> >
> > Also wenden wir L rechts auf etwas der Form a+bx an , für
> > das doe Ugl ja bereits gilt.
> >
> >
> > Oder - ist das völliger Schwachsinn ?
>
> Nicht ganz, aber überaus schlampig !
> >
> >
> > Lg Peter
> >
> >
>
>
> 1. Ich hab Dir etwas zur Aufgabenstellung geschrieben. Dazu
> hast Du Dich nicht geäußert !
Deine Anmerkungen dazu waren natürlich richtig , also zz
f(L(g)) [mm] \le [/mm] L(f [mm] \circ [/mm] g) für jedes g [mm] \in [/mm] V mit $ [mm] \overline{g(X)} \subseteq [/mm] $
>
> 2. Was Du mit f(g) meinst, hast Du auch nicht verraten.
> OIch vermute Du meinst [mm]f \circ g[/mm]
Genau - Pardon.
>
> 3. oben kommen k und d vor. Was für eine Bedeutung haben
> die ???
k und d beziehen sich auf die Form die ich für a(x) genannt habe.
>
> 4. Oben redest Du von a(x)=ax+b. Das sind schlechte
> Bezeichnungen, dann a, b sind die Intervallgrenzen.
>
>
>
> 4. auf (a,b) haben wir f(x) [mm]\ge[/mm] mx+c.
>
> Setzen wir g(x) ein, so bekomment wir
>
> [mm]f(g(x)) \ge m*g(x)+c[/mm]
>
> Die Monotonie und die Linearität von L liefert dann
>
> [mm]L(f \circ g) \ge mL(g)+c[/mm]
>
> Jetzt Du.
L(g)=z
Damit also :
[mm]L(f \circ g) \ge mz+c[/mm]
L(f [mm] \circ [/mm] g) [mm] \ge [/mm] f(z)
L(f [mm] \circ [/mm] g) [mm] \ge [/mm] f(L(g))
>
> FRED
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:25 Mo 24.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > Hallo,
> > >
> > >
> > > Eigentlich haben wir ja im Ersten Schritt gesehen, dass es
> > > eine Funktion a(x) = a+bx gibt mit der Eigenschaft dass
> > > f(x) [mm]\ge[/mm] a(x). ( das haben wir über den MWST gezeigt )
> > >
> > > Und dann die lineare Abbildung L auf diese Ungleichung
> > > angewendet. Damit erhalten wir dann
> > >
> > > L(f(g)) [mm]\ge[/mm] L(kg +d)
> > >
> > > Also wenden wir L rechts auf etwas der Form a+bx an , für
> > > das doe Ugl ja bereits gilt.
> > >
> > >
> > > Oder - ist das völliger Schwachsinn ?
> >
> > Nicht ganz, aber überaus schlampig !
> > >
> > >
> > > Lg Peter
> > >
> > >
> >
> >
> > 1. Ich hab Dir etwas zur Aufgabenstellung geschrieben. Dazu
> > hast Du Dich nicht geäußert !
> Deine Anmerkungen dazu waren natürlich richtig , also zz
> f(L(g)) [mm]\le[/mm] L(f [mm]\circ[/mm] g) für jedes g [mm]\in[/mm] V mit
> [mm]\overline{g(X)} \subseteq[/mm]
>
> >
> > 2. Was Du mit f(g) meinst, hast Du auch nicht verraten.
> > OIch vermute Du meinst [mm]f \circ g[/mm]
> Genau - Pardon.
> >
> > 3. oben kommen k und d vor. Was für eine Bedeutung haben
> > die ???
> k und d beziehen sich auf die Form die ich für a(x)
> genannt habe.
> >
> > 4. Oben redest Du von a(x)=ax+b. Das sind schlechte
> > Bezeichnungen, dann a, b sind die Intervallgrenzen.
> >
> >
> >
> > 4. auf (a,b) haben wir f(x) [mm]\ge[/mm] mx+c.
> >
> > Setzen wir g(x) ein, so bekomment wir
> >
> > [mm]f(g(x)) \ge m*g(x)+c[/mm]
> >
> > Die Monotonie und die Linearität von L liefert dann
> >
> > [mm]L(f \circ g) \ge mL(g)+c[/mm]
> >
> > Jetzt Du.
> L(g)=z
> Damit also :
> [mm]L(f \circ g) \ge mz+c[/mm]
> L(f [mm]\circ[/mm] g) [mm]\ge[/mm] f(z)
Warum ???
FRED
> L(f [mm]\circ[/mm] g) [mm]\ge[/mm] f(L(g))
>
> >
> > FRED
>
> Lg
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> > > > Hallo,
> > > >
> > > >
> > > > Eigentlich haben wir ja im Ersten Schritt gesehen, dass es
> > > > eine Funktion a(x) = a+bx gibt mit der Eigenschaft dass
> > > > f(x) [mm]\ge[/mm] a(x). ( das haben wir über den MWST gezeigt )
> > > >
> > > > Und dann die lineare Abbildung L auf diese Ungleichung
> > > > angewendet. Damit erhalten wir dann
> > > >
> > > > L(f(g)) [mm]\ge[/mm] L(kg +d)
> > > >
> > > > Also wenden wir L rechts auf etwas der Form a+bx an , für
> > > > das doe Ugl ja bereits gilt.
> > > >
> > > >
> > > > Oder - ist das völliger Schwachsinn ?
> > >
> > > Nicht ganz, aber überaus schlampig !
> > > >
> > > >
> > > > Lg Peter
> > > >
> > > >
> > >
> > >
> > > 1. Ich hab Dir etwas zur Aufgabenstellung geschrieben. Dazu
> > > hast Du Dich nicht geäußert !
> > Deine Anmerkungen dazu waren natürlich richtig , also
> zz
> > f(L(g)) [mm]\le[/mm] L(f [mm]\circ[/mm] g) für jedes g [mm]\in[/mm] V mit
> > [mm]\overline{g(X)} \subseteq[/mm]
> >
> > >
> > > 2. Was Du mit f(g) meinst, hast Du auch nicht verraten.
> > > OIch vermute Du meinst [mm]f \circ g[/mm]
> > Genau - Pardon.
> > >
> > > 3. oben kommen k und d vor. Was für eine Bedeutung haben
> > > die ???
> > k und d beziehen sich auf die Form die ich für a(x)
> > genannt habe.
> > >
> > > 4. Oben redest Du von a(x)=ax+b. Das sind schlechte
> > > Bezeichnungen, dann a, b sind die Intervallgrenzen.
> > >
> > >
> > >
> > > 4. auf (a,b) haben wir f(x) [mm]\ge[/mm] mx+c.
> > >
> > > Setzen wir g(x) ein, so bekomment wir
> > >
> > > [mm]f(g(x)) \ge m*g(x)+c[/mm]
> > >
> > > Die Monotonie und die Linearität von L liefert dann
> > >
> > > [mm]L(f \circ g) \ge mL(g)+c[/mm]
> > >
> > > Jetzt Du.
> > L(g)=z
> > Damit also :
> > [mm]L(f \circ g) \ge mz+c[/mm]
> > L(f [mm]\circ[/mm] g) [mm]\ge[/mm] f(z)
>
> Warum ???
Du hast recht das sollte ich irgendwie sinnvoll begründen - hast du dafür eventuell einem Vorschlag ?
>
> FRED
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> > L(f [mm]\circ[/mm] g) [mm]\ge[/mm] f(L(g))
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> > > FRED
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> > Lg
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Lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Mi 26.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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