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| Aufgabe | | Zeige, dass [mm] \wurzel[n]{n!}<\wurzel[n+1]{(n+1)!} [/mm] |
Hallo,
ich habe versucht diese Aufgabe zu lösen, komme aber nicht weiter.
I.d.R. würde ich auf beiden Seiten potenzieren.
Aber so komme ich hier nicht weiter, da ich hier auf der einen Seite eine ungerade und auf der anderen Seite eine gerade Zahl als Wurzelexponent habe,und ich muss ja auf beiden Seiten mit der selben potenzieren.
Die Kardinalität im Radikant macht mir die Sache auch nicht leichter.
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:24 Fr 11.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Zeige, dass [mm]\wurzel[n]{n!}<\wurzel[n+1]{(n+1)!}[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe versucht diese Aufgabe zu lösen, komme aber nicht
> weiter.
>
> I.d.R. würde ich auf beiden Seiten potenzieren.
> Aber so komme ich hier nicht weiter, da ich hier auf der
> einen Seite eine ungerade und auf der anderen Seite eine
> gerade Zahl als Wurzelexponent habe,und ich muss ja auf
> beiden Seiten mit der selben potenzieren.
Ja, das funktioniert doch !
> Die Kardinalität im Radikant macht mir die Sache auch
> nicht leichter.
Kardinalität ????
[mm]\wurzel[n]{n!}<\wurzel[n+1]{(n+1)!}[/mm] [mm] \gdw (\wurzel[n]{n!})^{n+1}<(n+1)!
[/mm]
Nun ist [mm] (\wurzel[n]{n!})^{n+1}=\wurzel[n]{n!}*(\wurzel[n]{n!})^n=\wurzel[n]{n!}*n!
[/mm]
Die zu beweisende Ungl. ist also gleichbedeutend mit
[mm] \wurzel[n]{n!}*n!<(n+1)!.
[/mm]
Dies ist aber äquivalent zu
[mm] \wurzel[n]{n!}<(n+1)
[/mm]
und das zu
(*) n! < [mm] (n+1)^n.
[/mm]
Zeige Du nun, dass (*) richtig ist.
FRED
>
> Vielen Dank
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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| Aufgabe | (*) n! < $ [mm] (n+1)^n. [/mm] $
Zeige Du nun, dass (*) richtig ist. |
Dankeschön.
Ok, ich versuche es
(*) n! < $ [mm] (n+1)^n. [/mm] $
Zeige Du nun, dass (*) richtig ist.
Also ich hab mir folgendes überlegt:
n! = 1*2*...*n
[mm] (n+1)^n [/mm] = [mm] \underbrace{(n+1)*(n+1)*...}_{n-Faktoren}
[/mm]
Nun ist aber n die größte Zahl der linken Seite. Die rechte Seitebesteht aus n faktoren, von der jeder einzelne größer n ist.
Dann muss [mm] (n+1)^n [/mm] größer als n! sein.
Kann man das so als Beweis schreiben?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:31 Mo 14.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> (*) n! < [mm](n+1)^n.[/mm]
>
> Zeige Du nun, dass (*) richtig ist.
> Dankeschön.
> Ok, ich versuche es
>
> (*) n! < [mm](n+1)^n.[/mm]
>
> Zeige Du nun, dass (*) richtig ist.
>
> Also ich hab mir folgendes überlegt:
>
> n! = 1*2*...*n
> [mm](n+1)^n[/mm] = [mm]\underbrace{(n+1)*(n+1)*...}_{n-Faktoren}[/mm]
>
> Nun ist aber n die größte Zahl der linken Seite. Die
> rechte Seitebesteht aus n faktoren, von der jeder einzelne
> größer n ist.
> Dann muss [mm](n+1)^n[/mm] größer als n! sein.
> Kann man das so als Beweis schreiben?
Mir würde das genügen.
FRED
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:44 Di 15.12.2015 | | Autor: | PeterShaw |
Supi, danke dir
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