Ungleichung < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] $e^{\wurzel{3}*x} \le e^{\wurzel{|x^3+4x^2-12x|}}$ [/mm] |
also es geht um diese Ungleichung
Ich habe zunächste einfach den ln drauf angewendet und dann auf beiden Seiten quadriert (darf man quadrieren?) aber dann hab ich das problem mit dem Betrag ich kann das ja schreiben als |x*(x+6)(x-2)| heißt das dann das der betrag = x*(x+6)(x-2) für [mm] -6\le x\le [/mm] 0 oder [mm] x\ge [/mm] 2 ist ? (muss da dann ein und oder eine oder zwischen?)
und = -(x*(x+6)(x-2)) für x<-6 oder 0<x<2 ist?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:58 Di 12.12.2006 | | Autor: | otto.euler |
Die Aufgabenstellung ist schwer zu lesen.
Wegen der Monotonie der e-Funktion ist
[mm] e^a \le e^b \gdw [/mm] a [mm] \le [/mm] b
korrekt. Aber das Quadrieren nicht; z.B. -2 < 1 aber [mm] (-2)^2 [/mm] > [mm] 1^2. [/mm] Bereits da beginnt das Problem mit den Fallunterscheidungen, die bei dem Betrag weitergehen.
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Ja tut mir leid wegen der Aufgabenstellung bei der Vorschau war alles richtig, als ich es dann gesendet hab wars so komisch. Wie löse ich denn das Problem mit dem quadrieren? Kannst du mir da einen Tipp geben?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:42 Di 12.12.2006 | | Autor: | otto.euler |
Sei a < b.
Fall 1: b < 0
[mm] a^2 [/mm] > [mm] b^2
[/mm]
Fall 2: 0 < a
[mm] a^2 [/mm] < [mm] b^2
[/mm]
Fall 3: a<0<b
In diesem Fall läßt sich über die Quadrate nichts aussagen.
Ich würde vorschlagen, dann a<0 und 0<b separat zu untersuchen. Und dann schauen, ob man weiterkommt.
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[mm] $\rmfamily \text{Die Lösungsmenge lautet } \mathbbm{L}=\{x\in \mathbbm{R}|x\ge 3\}\text{.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Kannst ja mal versuchen, darauf zu kommen.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Stefan.}$
[/mm]
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ich hatte das auch mal in derrive gezeichnet da kam ich aber auf [mm] -\bruch{7}{2}+\bruch{1}{2}*\wurzel{97}\le x\le [/mm] 3
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:18 Di 12.12.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Raeubertochter!
> Ja tut mir leid wegen der Aufgabenstellung bei der Vorschau
> war alles richtig, als ich es dann gesendet hab wars so
> komisch. Wie löse ich denn das Problem mit dem quadrieren?
> Kannst du mir da einen Tipp geben?
Vielleicht kannst du die Aufgabenstellung doch noch einmal posten, ich kann das überhaupt nicht lesen. Und eigentlich kann ich mir auch nicht vorstellen, dass bei der Vorschau alles richtige gewesen sein soll... Notfalls den Text einfach in eine neue Zeile schreiben...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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[mm] e^{\wurzel{3}*x} \le e^{\wurzel{|x^3+4x^2-12x|}}
[/mm]
[mm] \gdw \wurzel{3}*x \le \wurzel{|x^3+4x^2-12x|}
[/mm]
Fall 1: x<0
Wegen [mm] \wurzel{|x^3+4x^2-12x|} [/mm] > 0 für alle x und 0 > [mm] \wurzel{3}*x [/mm] für alle x gilt trivialerweise auch [mm] \wurzel{3}*x [/mm] < 0 < [mm] \wurzel{|x^3+4x^2-12x|}.
[/mm]
Fall 2: [mm] x\ge0
[/mm]
Dann gilt:
0 [mm] \le \wurzel{3}*x \le \wurzel{|x^3+4x^2-12x|}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \le 3x^2 \le |x^3+4x^2-12x|
[/mm]
Es ist: [mm] |x^3+4x^2-12x| [/mm] = |x(x+6)(x-2)|, [mm] x\ge0, x+6\ge0. [/mm] Das heißt, dass das Vorzeichen von (x-2) entscheidet.
Fall 2a: [mm] x\ge0 [/mm] und [mm] x-2\ge0 \rightarrow x\ge2
[/mm]
[mm] e^{\wurzel{3}*x} \le e^{\wurzel{|x^3+4x^2-12x|}}
[/mm]
[mm] \gdw 3x^2 \le x^3+4x^2-12x
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \le x^3+x^2-12x [/mm] = x(x+4)(x-3)
[mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \le [/mm] x-3, da ja [mm] x\ge2 [/mm] gilt.
Also insgesamt: [mm] x\ge3.
[/mm]
Fall 2b: [mm] x\ge0 [/mm] und x-2 < 0 [mm] \rightarrow [/mm] 0 [mm] \le [/mm] x < 2
[mm] e^{\wurzel{3}*x} \le e^{\wurzel{|x^3+4x^2-12x|}}
[/mm]
[mm] \gdw 3x^2 \le -(x^3+4x^2-12x)
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \le -x^3-7x^2+12x [/mm] = [mm] -x*(x^2+7x-12)
[/mm]
Eine Nebenrechnung liefert:
[mm] x^2+7x-12 \le [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \le \bruch{-7-\wurzel{97}}{2} [/mm] oder x [mm] \ge \bruch{-7+\wurzel{97}}{2}
[/mm]
Damit im Fall 2b insgesamt: x=0 oder [mm] \bruch{-7+\wurzel{97}}{2} \le [/mm] x < 2.
Alles zusammen:
[mm] e^{\wurzel{3}*x} \le e^{\wurzel{|x^3+4x^2-12x|}}
[/mm]
ist erfüllt für alle x mit:
x [mm] \le [/mm] 0 oder x [mm] \ge [/mm] 3 oder [mm] \bruch{-7+\wurzel{97}}{2} \le [/mm] x < 2.
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oh vielen dank für die mühe!! super. nur leider kommt was anderes raus wenni ch das in derive zeichne. woran kann das liegen?
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:58 Sa 16.12.2006 | | Autor: | otto.euler |
Ich habe keine Möglichkeit, mir die zwei e-Funktionen graphisch darstellen zu lassen. Deshalb verlasse ich mich auf meine Rechnung, die hoffentlich stimmt. Hast du die Möglichkeit, mit anderen Grafikprogrammen dein Derive-Ergebnis zu überprüfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:48 So 17.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Otto!
Du kannst Dir das freie Programm ![[]](/images/popup.gif) FunkyPlot runterladen. Damit ist das Zeichnen(lassen) dann kein Problem mehr.
Gruß
Loddar
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