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Ungleichung: Lösungsmenge bestimmen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:09 So 21.09.2008
Autor: Tobias2k

Aufgabe
Bestimmen Sie die Lösungsmengen folgender Ungleichungen:

1) [mm] \bruch{4-2x}{4+x}-10<0 [/mm]

2) [mm] x^{4}+|x^{3}-6x-8|=0 [/mm]

Ich habe seit langem keine ungleichungen mehr gelöst und komme aktuell nicht so richtig zurecht. Würde mich freuen wenn ihr mir ein paar Tipps geben könntet. So habe ich angefangen:

1)
[mm] \bruch{4-2x}{4+x}-10<0 [/mm]

Erstmal 10 addiert

[mm] \gdw\bruch{4-2x}{4+x}<10 [/mm]

Nur war ich der Meinung das man eine Fallunterscheidung machen muss da sich das Vorzeichen ändern würde wenn der Nenner des Bruchs negativ ist.

1. Fall: 4+x>0 [mm] \gdw [/mm] x>-4
4-2x<10*(4+x)
4-2x<40+10x

2x addieren:
4<40+12x

40 subtrahieren:
-36<12x

und durch 12 teilen:
-3<x

Wenn ich jetzt aber den zweiten Fall mache dreht sich nur das größer kleiner. Deswegen glaube ich das es falsch ist.


Aufgabe 2:
Hier verwirren mich die Betragsstriche total.
Ich glaube das ich eine Fallunterscheidung machen muss ob der Betrag positiv oder negativ wird sprich:

1. Fall [mm] x^{3}-6x-8 [/mm]
2. Fall [mm] -(x^{3}-6x-8) [/mm]

Richtig/Falsch?

Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen.

        
Bezug
Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:28 So 21.09.2008
Autor: Teufel

Hallo!

Zur 1. Aufgabe:
Alles richtig bis jetzt. Richtig ist auch, dass sich das Zeichen umdreht und du am Ende x<-3 zu stehen hättest. Allerdings muss für diesen Fall auch x+4<0 sein, also x<-4.

Wenn du beide Fälle zusammen nimmst, erhälst du insgesamt für den 2. Fall x<-4.

Damit ist die Lösungsmenge L={x|x>-3 [mm] \vee [/mm] x<-4}.

Zur 2. Aufgabe:
Richtig, du musst eine Fallunterscheidung machen. Dazu musst du erstmal schauen, wann der Ausdruck zwischen den Betragsstrichen größer oder kleiner als 0 ist. Also musst du den Betragsterm=0 setzen (es gibt nur eine Nullstelle).

[anon] Teufel

Bezug
        
Bezug
Ungleichung: einfacherer Weg für 2)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:53 So 21.09.2008
Autor: Somebody


> Bestimmen Sie die Lösungsmengen folgender Ungleichungen:
>  
> 1) [mm]\bruch{4-2x}{4+x}-10<0[/mm]
>  
> 2) [mm]x^{4}+|x^{3}-6x-8|=0[/mm]
>

> Aufgabe 2:
>  Hier verwirren mich die Betragsstriche total.
> Ich glaube das ich eine Fallunterscheidung machen muss ob
> der Betrag positiv oder negativ wird sprich:
>  
> 1. Fall [mm]x^{3}-6x-8[/mm]
>  2. Fall [mm]-(x^{3}-6x-8)[/mm]
>  

Es gibt einen einfacheren Weg als sich auf die Lösung von Gleichungen vierten[!] Grades einzulassen: beide Summanden, [mm] $x^4$ [/mm] und [mm] $|x^3-6x-8|$, [/mm]  auf der linken Seite dieser Gleichung sind für alle [mm] $x\in \IR$ [/mm] nicht-negativ [mm] ($\geq [/mm] 0$). Da [mm] $x^4$ [/mm] nur für $x=0$ gleich $0$ wird, könnte daher nur $x=0$ eine Lösung sein. Einsetzen dieses Wertes für $x$ zeigt aber: auch $x=0$ ist keine Lösung. Also gibt es keine Lösungen dieser Betragsgleichung.

Bezug
                
Bezug
Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:59 So 21.09.2008
Autor: Teufel

Hi!

Ist natürlich noch viel besser, die Lösung! Die einzige, die man auch in Betracht ziehen sollte.

[anon] Teufel

Bezug
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