Ungleichung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:11 Di 27.10.2009 | | Autor: | wauwau |
| Aufgabe | Sei $ 2<a < [mm] b_1
Unter welchen Bedingungen von $k, [mm] b_i, [/mm] a $gilt:
[mm] $a\prod_{i=1}^{k}(b_i-1) [/mm] < [mm] (a-1)\prod_{i=1}^{k}b_i$ [/mm] |
Schaut einfach aus ist es aber nicht...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:15 Di 27.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]20[/mm] natürliche Zahlen
> Unter welchen Bedingungen von [mm]k, b_i, a [/mm]gilt:
>
> [mm]a\prod_{i=1}^{k}(b_i-1) < (a-1)\prod_{i=1}^{k}b_i[/mm]
> Schaut
> einfach aus ist es aber nicht...
Fuer $k = 1$ gilt $a [mm] (b_1 [/mm] - 1) = a [mm] b_1 [/mm] - a > a [mm] b_1 [/mm] - [mm] b_1 [/mm] = (a - 1) [mm] b_1$. [/mm] Damit ist die Aussage fuer $k = 1$ falsch.
Fuer $k > 1$ ist die Aussage sehr wohl erfuellbar. Gilt fuer $k = 2$ etwa [mm] $b_2 [/mm] < 2 a$, so gilt die Aussage. Und sobald die Aussage fuer ein $k$ und $a, [mm] b_1, \dots, b_k$ [/mm] gilt, so kann man $k$ beliebig vergroessern und es gilt immer noch. Somit sind $k > 1$ und [mm] $b_2 [/mm] < 2 a$ hinreichend.
Aber ich vermute, du willst lieber eine "genau dann wenn"-Charakterisierung?
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:06 Mi 28.10.2009 | | Autor: | wauwau |
| Aufgabe | | Wie kommst du drauf dass [mm] $b_2 [/mm] < 2a$ reicht?? |
anscheinend stehe ich auf der Leiter....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:15 Mi 28.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Wie kommst du drauf dass [mm]b_2 < 2a[/mm] reicht??
> anscheinend stehe ich auf der Leiter....
Mal gucken ob ich noch auf die Reihe bekomme was ich mir gestern abend gedacht hab. Ich hab den Fall $n = 3$ angeschaut, dann hat man ja die Ungleichung $a [mm] b_1 b_2 [/mm] - a [mm] (b_1 [/mm] + [mm] b_2) [/mm] + a = a [mm] (b_1 [/mm] - 1) [mm] (b_2 [/mm] - 1) < (a - 1) [mm] b_1 b_2 [/mm] = a [mm] b_1 b_2 [/mm] - [mm] b_1 b_2$; [/mm] sie ist also aequivalent zu $a (1 - [mm] b_1 [/mm] - [mm] b_2) [/mm] < - [mm] b_1 b_2$ [/mm] und somit zu $a > [mm] \frac{b_1 b_2}{b_1 + b_2 - 1}$. [/mm] Da nun [mm] $b_2 [/mm] > [mm] b_1$ [/mm] gilt, ist [mm] $b_1 [/mm] + [mm] b_2 [/mm] - 1 > 2 [mm] b_2 [/mm] - 1 [mm] \ge [/mm] 2 [mm] b_2$ [/mm] (da ganze Zahlen) und somit [mm] $\frac{b_1 b_2}{b_1 + b_2 - 1} \le \frac{b_1 b_2}{2 b_2} [/mm] = [mm] \frac{b_1}{2}$. [/mm] Gilt also $a > [mm] \frac{b_1}{2}$, [/mm] so folgt die Ungleichung fuer $n = 2$ (und somit auch die Ungleichung fuer $n [mm] \ge [/mm] 2$).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:15 Mi 28.10.2009 | | Autor: | wauwau |
habs schon gecheckt...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:19 Mi 28.10.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo wauwau,
passt Dir etwas an den Antworten von Felix nicht, oder warum stellst Du die Frage wieder auf unbeantwortet? Das wirkt unangenehm, ja sogar unhöflich.
Hast Du neue Nachfragen? Dann stell sie doch bitte als neue Frage weiter unten im Diskussionsgang.
Und falls es ein Versehen war - jetzt ist die Frage ja wieder grün. 
lg
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:29 Mi 28.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Reverend,
die Frage ist noch nicht fertig beantwortet, deswegen sollte sie nicht auf Beantwortet stehen. Ob man sie nun auf "Nicht beantwortet" oder "Teilweise beantwortet" stellt ist Geschmackssache, da meine Antwort zwar ein hinreichendes Kriterium enthaelt, welches aber (wahrscheinlich) nicht notwendig ist und somit die eigentliche Frage nicht wirklich geklaert ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Do 29.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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