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Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:43 Mo 21.12.2009
Autor: Roli772

Aufgabe
zz: | [mm] a*e^a [/mm] - [mm] b*e^b [/mm] | [mm] \le [/mm] 2*e |a-b| [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] [0,1]

Hallo!

Mir fehlt hier leider jeglicher Ansatz, aber vielleicht hätte wer einen Tipp für mich?
Würde mich freuen!

Mfg Sr

        
Bezug
Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:40 Mo 21.12.2009
Autor: reverend

Hallo Roli,

1) Du könntest das als implizite Funktion nehmen und mal die Ableitungen in dem Bereich untersuchen. Dazu bräuchtest Du allerdings auch mindestens einen Funktionswert, an dem die Relation in Gleichheit übergeht.

2) Noch netter scheint mir, das als Funktion zweier Veränderlicher zu nehmen. Dann kannst Du den Bereich ja auf lokale Maxima untersuchen...

3) Vielleicht hilft Dir auch ein Vergleich von [mm] ae^a [/mm] mit 2ea ? ;-)

lg
reverend

Bezug
                
Bezug
Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:01 Mo 21.12.2009
Autor: Roli772

Ok, dann probier ich das mal.

Was aber meinst du mit Pkt 3?

Danke für deine schnelle Antwort!!
Mfg Sr

Bezug
                        
Bezug
Ungleichung: noch ein bisschen mehr...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:15 Mo 21.12.2009
Autor: reverend

Hallo Roli,

ich habs jetzt mal selbst probiert. Variante 3 ist mit Abstand am einfachsten!

Dazu noch ein paar Tipps:

4) in [0,1] ist [mm] xe^x [/mm] streng monoton steigend

5) Du darfst oBdA annehmen, dass [mm] a\ge{b} [/mm] ist. (Weißt Du warum? In der Begründung kommt das Wort "Weihnachten" nicht vor!)

6) Entferne also Deine Betragsstriche, lege eine kurze Bastelstunde ein, und meditiere den folgenden Plot:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Dann solltest Du schnell fertig sein.
Auf welche Funktion es ankommt, zeigt wohl schon die Wahl des Ausschnitts...

Viel Erfolg!
reverend

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
Bezug
        
Bezug
Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:40 Di 22.12.2009
Autor: fred97

Setze $f(x) = [mm] xe^x$ [/mm]

Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein t zwischen a und b ( insbesondere t [mm] \in [/mm] [0,1]) mit

                $f(b)-f(a) = f'(t)*(b-a)$

Somit: $|f(b)-f(a)| = |f'(t)|*|(b-a)|$

Jetzt bist Du dran

FRED


Bezug
                
Bezug
Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:20 Di 22.12.2009
Autor: reverend

Hallo Fred,

hübsche Lösung, könnte sogar noch kürzer werden als meine letzte.
Für die allgemeine Meditation (;-)) auch dazu ein Plot:
[Dateianhang nicht öffentlich]

Grüße
reverend

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
Bezug
                        
Bezug
Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:57 Di 22.12.2009
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> hübsche Lösung,

Hallo reverend,

meinen Studenten "predige" (das müßte Dir bekannt vorkommen) ich immer:

    "hat man die Differenz zweier Funktionswerte vor der Nase, so denke man an den Mittelwertsatz".

Gruß und schöne Feiertage

FRED




> könnte sogar noch kürzer werden als
> meine letzte.
>  Für die allgemeine Meditation (;-)) auch dazu ein Plot:
>  [Dateianhang nicht öffentlich]
>  
> Grüße
>  reverend


Bezug
                
Bezug
Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:59 Di 22.12.2009
Autor: Roli772


> Somit: [mm]|f(b)-f(a)| = |f'(t)|*|(b-a)|[/mm]
>  
> Jetzt bist Du dran

so, jetzt müsste ich nurnoch |f'(t)| abschätzen mit 2*e, dann wäre ich fertig.
f(t) hatte ja die form [mm] t*e^t, [/mm] wobei t aus (0,1) gewählt war. [mm] f'(t)=t*e^t+e^t, [/mm] also [mm] (t+1)*e^t, [/mm] was sicher [mm] \le [/mm] "t=1" eingesetzt , also 2*e ist.
Damit wäre
| [mm] f(b)-f(a)|\le [/mm] 2*e |b-a| gezeigt.

Richtig so?

Bezug
                        
Bezug
Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:02 Di 22.12.2009
Autor: fred97


> > Somit: [mm]|f(b)-f(a)| = |f'(t)|*|(b-a)|[/mm]
>  >  
> > Jetzt bist Du dran
>  
> so, jetzt müsste ich nurnoch |f'(t)| abschätzen mit 2*e,
> dann wäre ich fertig.
>  f(t) hatte ja die form [mm]t*e^t,[/mm] wobei t aus (0,1) gewählt
> war. [mm]f'(t)=t*e^t+e^t,[/mm] also [mm](t+1)*e^t,[/mm] was sicher [mm]\le[/mm] "t=1"
> eingesetzt , also 2*e ist.

Na ja. Ich denke Du meinst das richtige. Es ist t [mm] \in [/mm] [0,1], also

                 $|f'(t)| = f'(t) = [mm] (t+1)e^t \le (1+1)e^1=2e$ [/mm]

FRED


>  Damit wäre
> | [mm]f(b)-f(a)|\le[/mm] 2*e |b-a| gezeigt.
>  
> Richtig so?


Bezug
                                
Bezug
Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:03 Di 22.12.2009
Autor: Roli772

ja genau.

Ok super danke für die Hilfe!
Danke auch reverend für die Mühe und die graphen!!

Mfg Sr

Bezug
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