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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:04 Do 10.06.2010 | | Autor: | steffenk |
Hallo,
ich suche eine Ungleichung von folgender Form:
[mm]a^\theta *b^{1-\theta} \leq c_{\theta} (a+b)[/mm]
für [mm]\theta \geq 0, a,b \geq 0[/mm]
Für [mm]a=0, b=0, a\geq b, b\geq a[/mm] sehe ich keine Probleme.
Probleme macht mir der Fall (a, b) [mm] \rightarrow [/mm] (0,0)
Jemand eine Idee?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:42 Do 10.06.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Steffen,
eine Frage, eine Bitte:
1) Gilt auch [mm] \theta\le{1} [/mm] ?
2) Kannst Du mal ein Beispiel geben für eine Funktion [mm] c_{\theta}, [/mm] die für die anderen von Dir angegebenen Fälle die Bedingung erfüllt, aber für [mm] (a,b)\to{0} [/mm] nicht?
Grüße
reverend
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[mm] $c_\theta [/mm] = 1$ erfüllt die Gleichung immer, denn es gilt:
$ [mm] a^\theta b^{1-\theta} \le \max(a,b)^\theta* \max(a,b)^{1-\theta} [/mm] = [mm] \max(a,b) \le [/mm] a+b$
edit: Für [mm] $\theta \le [/mm] 1 $ natürlich nur, daher mal nur halb beantwortet.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:28 Do 10.06.2010 | | Autor: | steffenk |
Hallo,
mhh, ich glaube ich bräuchte die Ungleichung sogar für beliebiges [mm] \theta \in \mathbb{R}
[/mm]
LG
Steffen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:58 Do 10.06.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Das wird es nicht geben, zumindest nicht unabhängig von a und b.
Nehmen wir doch mal an, es gäbe für [mm] $\theta [/mm] > 1$ eine Konstante [mm] c_\theta [/mm] in Abhängigkeit von [mm] \theta, [/mm] so dass gilt:
$ [mm] a^\theta \cdot{}b^{1-\theta} \leq c_{\theta} [/mm] (a+b) $
Es gilt aber für [mm] $\theta [/mm] > 1$
$ [mm] a^\theta \cdot{}b^{1-\theta} [/mm] = [mm] \bruch{a^\theta}{b^{\theta - 1}}$
[/mm]
Und da [mm] $b^{\theta - 1} \to [/mm] 0$ für $b [mm] \to [/mm] 0$ geht eben [mm] $\bruch{a^\theta}{b^{\theta - 1}} \to \infty$ [/mm] und ist damit nicht nach oben begrenzt.
MFG,
Gono.
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