Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:04 Do 05.05.2011 | | Autor: | Fawkes |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für alle [mm] (x_1,x_2,...,x_n) \in \IR^n [/mm] die Ungleichung
[mm] (\summe_{i=1}^{n} x_i)^2 \le [/mm] n * [mm] \summe_{i=1}^{n} (x_i)^2
[/mm]
gilt. Geben Sie alle [mm] (x_1,x_2,...,x_n) \in \IR^n [/mm] an, für die die Gleichheit gilt. |
Hallo,
den ersten Teil der Aufgabe hab ich versucht durch Induktion zu lösen:
Anfang:
n=1:
[mm] (\summe_{i=1}^{1} x_i)^2 \le [/mm] 1 * [mm] \summe_{i=1}^{1} (x_i)^2
[/mm]
[mm] \gdw (x_1)^2 \le [/mm] 1 * [mm] (x_1)^2
[/mm]
Annahme:
[mm] (\summe_{i=1}^{n} x_i)^2 \le [/mm] n * [mm] \summe_{i=1}^{n} (x_i)^2
[/mm]
Schritt:
n -> n+1
z.z.: [mm] (\summe_{i=1}^{n+1} x_i)^2 \le [/mm] (n+1) * [mm] \summe_{i=1}^{n+1} (x_i)^2
[/mm]
(n+1) * [mm] \summe_{i=1}^{n+1} (x_i)^2 [/mm] = n * [mm] \summe_{i=1}^{n+1} (x_i)^2 [/mm] + 1 * [mm] \summe_{i=1}^{n+1} (x_i)^2 [/mm] = n * [mm] \summe_{i=1}^{n} (x_i)^2 [/mm] + (n+1) * [mm] (x_(n+1))^2 [/mm] + 1 * [mm] \summe_{i=1}^{n} (x_i)^2 \ge (\summe_{i=1}^{n} x_i)^2 [/mm] + (n+1) * [mm] (x_(n+1))^2 [/mm] + 1 * [mm] \summe_{i=1}^{n} (x_i)^2
[/mm]
Mein Problem ist nun wie ich zeigen kann, dass
[mm] (\summe_{i=1}^{n} x_i)^2 [/mm] + (n+1) * [mm] (x_(n+1))^2 [/mm] + 1 * [mm] \summe_{i=1}^{n} (x_i)^2 [/mm] = [mm] (\summe_{i=1}^{n+1} x_i)^2
[/mm]
oder
[mm] (\summe_{i=1}^{n} x_i)^2 [/mm] + (n+1) * [mm] (x_(n+1))^2 [/mm] + 1 * [mm] \summe_{i=1}^{n} (x_i)^2 \ge (\summe_{i=1}^{n+1} x_i)^2
[/mm]
ist.
Würde mich sehr über eine Antwort freuen.
Gruß Fawkes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:32 Do 05.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Tipp: mit [mm] y_i:=1 [/mm] (i=1,...,n) schätze die Summe
$ [mm] \summe_{i=1}^{n}x_i= \summe_{i=1}^{n}x_i*y_i$
[/mm]
mit der Cauchy-Schwarzschen Ungl. ab.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Do 05.05.2011 | | Autor: | Fawkes |
Vielen Dank für deine Antwort. Mit dem Tipp war es dann nur ein Einzeiler :)
Bei dem zweiten Teil der Aufgabe stehe ich leider wieder vor einem Problem. Habe jetzt einfach mal n=1,2,3,4 ausgerechnet und bei allen Rechnungen festgestellt, dass eine Gleichheit gilt, wenn gilt [mm] x_1=...=x_n [/mm] mit n=1,2,3,4. Jedoch habe ich nun Probleme dies auf den allgemeinen Fall zu übertragen.
Wäre auch hier für einen Tipp dankbar.
Gruß Fawkes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 Do 05.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Tipp: schau Dir den Beweis der Cauchy - Schwarzschen Ungl. an. Dann siehst Du: in dieser Ungl. steht genau dan "=", wenn x und y linear abhängig sind.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Do 05.05.2011 | | Autor: | Fawkes |
Ok ich versuche das Ganze dann einfach mal hier aufzuschreiben:
Sei also [mm] y_i [/mm] := 1, für i=1,...,n dann gilt
[mm] (\summe_{i=1}^{n} (x_i [/mm] * [mm] 1))^2 [/mm] = [mm] (\summe_{i=1}^{n} (x_i)^2) [/mm] * n
[mm] \gdw (\summe_{i=1}^{n} (x_i [/mm] * [mm] y_i))^2 [/mm] = [mm] (\summe_{i=1}^{n} (x_i)^2) [/mm] * [mm] (\summe_{i=1}^{n} (y_i)^2)
[/mm]
wir wissen, dass nach der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung eine Gleichheit gilt, wenn x und y linear abhängig sind. Da y= (1,1,...,1) ist muss also x= a*(1,1,...,1) mit a [mm] \in \IR [/mm] sein. Damit folgt eine Gleichheit wenn gilt [mm] x_1=...=x_n=a. [/mm]
Denke mal so würde ich es aufschreiben...
Über eine Rückmeldung würde ich mich freuen.
Gruß Fawkes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:39 Fr 06.05.2011 | | Autor: | wauwau |
exakt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:04 Sa 07.05.2011 | | Autor: | Fawkes |
Vielen Dank :)
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