Ungleichung < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:55 So 24.07.2011 | | Autor: | times |
| Aufgabe | Ermitteln Sie alle reelen Lösungen der Ungleichung
[mm] \bruch{x-3}{1-x} \ge [/mm] 1 |
Hallo miteinander,
ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe, ich weiß das die Lösung im Intervall von 1 bis incl. 2 liegen muss.
Für die Lösung habe ich mir folgendes überlegt, also erstens den Nenner = 0 gesetzt für die Nullstelle und dann eine Fallunterscheidung für x<1 und x>1, dies muss ich wissen, weil sich sonst beim multiplizieren bei einem negativen Nenner das Ungleichheitszeichen umkehrt.
Jetzt bekomme ich nach meiner Methode heraus x [mm] \ge [/mm] 2 und [mm] \le
[/mm]
Was mach ich falsch ?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:13 So 24.07.2011 | | Autor: | Anja_B |
für x>2 ist die Ungleichung nicht erfüllt, weil:
[mm] x-3\ge1-x
[/mm]
nur dann stimmen kann, wenn x>1 ist. D.h. es gibt keine Zahl, die die Bedingung [mm] x-3\ge1-x [/mm] und [mm] x\le [/mm] 1 erfüllt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:22 So 24.07.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
die erste Mitteilung von mir was falsch.. sorry.
Gruß
barsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:19 So 24.07.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Für die Lösung habe ich mir folgendes überlegt, also
> erstens den Nenner = 0 gesetzt für die Nullstelle und dann
> eine Fallunterscheidung für x<1 und x>1, dies muss ich
> wissen, weil sich sonst beim multiplizieren bei einem
> negativen Nenner das Ungleichheitszeichen umkehrt.
das ist korrekt.
> Jetzt bekomme ich nach meiner Methode heraus x [mm]\ge[/mm] 2 und [mm]\le[/mm]
>
> Was mach ich falsch ?
Du musst bedenken, in einem Fall nimmst du an, dass [mm]x<1[/mm]. Dann erreichst du durch Umstellen [mm]x\ge{2}[/mm]. Du erhälst also einen Widerspruch zu deiner Annahme [mm]x<1[/mm]. [mm]x\ge{2}[/mm] ist demnach keine Lösung.
Anders sieht es für die Annahme x>1 aus...
Gruß
barsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:27 So 24.07.2011 | | Autor: | times |
Vielen lieben Dank, ich vergaß ganz das ich im zweiten Fall schon die Voraussetzung gegeben hatte, dass x>1 sein muss und und ich somit ein Intervall bilden kann, danke nochmal :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:28 So 24.07.2011 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo barsch für x<1 bekommst du [mm] x\ge2, [/mm] jetzt ist der Widerspruch klar, Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:37 So 24.07.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo Steffi,
vielen Dank für den Hinweis. Ich habe fast geahnt, dass in meiner Antwort irgendein Fehler sein muss. Bei einer ähnlichen Aufgabe (https://matheraum.de/read?i=792486) habe ich schon einmal den Vogel abgeschossen.
Umso schöner, dass du über die Lösung gesehen hast. Habe es jetzt verbessert.
Danke.
Gruß
barsch
|
|
|
| |
|
Hossa :)
Um alle reellen Lösungen der Ungleichung [mm] $\frac{x-3}{1-x} \ge1$ [/mm] zu finden, stellst du diese am besten um.
1. Fall: $1-x>0$ bzw. $x<1$
In diesem Fall ist der Nenner positiv. Daher bleibt die Relation [mm] "$\ge$" [/mm] bei Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit $(1-x)$ erhalten:
[mm] $x-3\ge 1-x\quad\Longrightarrow\quad 2x-3\ge 1\quad\Longrightarrow\quad 2x\ge 4\quad\Longrightarrow\quad x\ge [/mm] 2$
Offensichtlich gibt es kein x, das sowohl die Voraussetzung $x<1$ als auch das Ergebnis [mm] $x\ge2$ [/mm] erfüllt. Also gibt es für den 1. Fall keine reelle Lösung der Ungleichung.
2. Fall: $1-x<0$ bzw. $x>1$
In diesem Fall ist der Nenner negativ. Daher "dreht" sich die Relation [mm] "$\ge$" [/mm] bei Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit $(1-x)$ um:
[mm] $x-3\le 1-x\quad\Longrightarrow\quad 2x-3\le 1\quad\Longrightarrow\quad 2x\le 4\quad\Longrightarrow\quad x\le [/mm] 2$
Um sowohl die Voraussetzung $x>1$ als auch das Ergebnis [mm] $x\le2$ [/mm] zu erfüllen, muss gelten:
[mm] $x\in]1,2]$
[/mm]
Viele Grüße
Hasenfuss
|
|
|
|
