Ungleichung < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:59 Sa 27.08.2011 | | Autor: | hula |
Hallöchen,
Ich verzweifle an einer Ungleichung: Nehmen wir an, ich habe einen linearer symmetrischen Operator $\ T [mm] \subset T^\* [/mm] $ wobei letzteres der adjungierte Operator von $\ T $ ist. Es gilt folgende Ungleichung:
$\ [mm] \parallel [/mm] (z-T)v [mm] \parallel_H \ge [/mm] |Im(z)| [mm] \parallel [/mm] v [mm] \parallel_H [/mm] $
wobei H ein Hilbertraum ist. Nun soll daraus folgen, dass:
[mm] \parallel (z-T)^{-1} \parallel_{L(H)} \le \bruch{1}{|Im(z)} [/mm]
wobei z so ist, dass die Inverse existiert und stetig ist. Aber wie komm ich von der ersten Ungleichung auf die zweite. Mein Problem ist, dass ich doch nur folgendes weiss:
[mm] 1 = \parallel id \parallel_{L(H)} = \parallel T T^{-1} \parallel_{L(H)} \le \parallel T\parallel_{L(H)} \parallel T^{-1} \parallel_{L(H)} [/mm]
wenn ich das verwende komme ich nicht auf das richtige! was mache ich falsch?
greetz
hula
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Sa 27.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin hula!
> Ich verzweifle an einer Ungleichung: Nehmen wir an, ich
> habe einen linearer symmetrischen Operator [mm]\ T \subset T^\*[/mm]
> wobei letzteres der adjungierte Operator von [mm]\ T[/mm] ist. Es
> gilt folgende Ungleichung:
>
> [mm]\ \parallel (z-T)v \parallel_H \ge |Im(z)| \parallel v \parallel_H[/mm]
>
> wobei H ein Hilbertraum ist. Nun soll daraus folgen, dass:
>
> [mm]\parallel (z-T)^{-1} \parallel_{L(H)} \le \bruch{1}{|Im(z)}[/mm]
Setz in die erste Gleichung $v = (z - [mm] T)^{-1} [/mm] w$ ein. Dann steht da [mm] $\| [/mm] w [mm] \|_H \ge [/mm] |Im(z)| [mm] \| [/mm] (z - [mm] T)^{-1} [/mm] w [mm] \|_H$, [/mm] oder anders umgeformt [mm] $\frac{\| (z - T)^{-1} w \|_H}{\| w \|_H} \le \frac{1}{|Im(z)|}$.
[/mm]
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 Sa 27.08.2011 | | Autor: | hula |
hallo felix
Woah, das ging aber schnell mit einer Antwort. Danke dir!
Mein Operator hat folgenden Definitionsbereich:
[mm] T: Dom(T) \subset H \to H [/mm]
Wieso weiss also, dass
>
> [mm]v = (z - T)^{-1} w[/mm]
dieses $\ v $ in $\ Dom(T) $ liegt?
Gruss
hula
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 Sa 27.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> hallo felix
>
> Woah, das ging aber schnell mit einer Antwort. Danke dir!
> Mein Operator hat folgenden Definitionsbereich:
>
> [mm]T: Dom(T) \subset H \to H[/mm]
>
> Wieso weiss also, dass
>
> >
> > [mm]v = (z - T)^{-1} w[/mm]
>
> dieses [mm]\ v[/mm] in [mm]\ Dom(T)[/mm] liegt?
Das folgt aus der Def. von (z - [mm] T)^{-1} [/mm] und aus Dom(T)= Dom(z-T)
Es ist $z-T: Dom(z-T) [mm] \to [/mm] H$ bijektiv, also gilt: (z - [mm] T)^{-1}:H \to [/mm] Dom(z-T)
FRED
>
>
> Gruss
>
> hula
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:48 Sa 27.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallöchen,
>
>
> Ich verzweifle an einer Ungleichung: Nehmen wir an, ich
> habe einen linearer symmetrischen Operator [mm]\ T \subset T^\*[/mm]
> wobei letzteres der adjungierte Operator von [mm]\ T[/mm] ist. Es
> gilt folgende Ungleichung:
>
> [mm]\ \parallel (z-T)v \parallel_H \ge |Im(z)| \parallel v \parallel_H[/mm]
>
> wobei H ein Hilbertraum ist. Nun soll daraus folgen, dass:
>
> [mm]\parallel (z-T)^{-1} \parallel_{L(H)} \le \bruch{1}{|Im(z)}[/mm]
>
> wobei z so ist, dass die Inverse existiert und stetig ist.
> Aber wie komm ich von der ersten Ungleichung auf die
> zweite. Mein Problem ist, dass ich doch nur folgendes
> weiss:
>
> [mm]1 = \parallel id \parallel_{L(H)} = \parallel T T^{-1} \parallel_{L(H)} \le \parallel T\parallel_{L(H)} \parallel T^{-1} \parallel_{L(H)}[/mm]
Das ist sinnlos, denn T muß nicht beschränkt sein.
FRED
>
> wenn ich das verwende komme ich nicht auf das richtige! was
> mache ich falsch?
>
> greetz
>
> hula
|
|
|
|
