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Ungleichung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:45 So 03.06.2012
Autor: katrin10

Aufgabe
Sei [mm] $f:\IR\to\IR$ [/mm] eine konvexe Funktion, [mm] $(\Omega,F,\mu)$ [/mm] ein Maßraum, $g$ [mm] $\mu$-integrierbar, [/mm] $f [mm] \circ [/mm] g$ [mm] $\mu$-integrierbar [/mm] und [mm] $\mu(\Omega)=1$. [/mm] Dann gilt [mm] $f(\int_{} \! [/mm] g [mm] \, d\mu )\le\int_{} \! [/mm] f [mm] \circ [/mm] g [mm] \, d\mu$ [/mm]



Hallo,

ich habe gezeigt, dass die Behauptung für [mm] \mu-integrierbare [/mm] nicht negative Funktionen gilt, also insbesondere für g^+ und g^- (g^+ soll der Positivteil, also max(g,0) sein, g^- der Negativteil von g), d. h. es gilt [mm] f(\int_{} \! [/mm] g^+ [mm] \, d\mu )<=\int_{} \! [/mm] f [mm] \circ [/mm] g^+ [mm] \, d\mu [/mm] und [mm] f(\int_{} \! [/mm] g^- [mm] \, d\mu )<=\int_{} \! [/mm] f [mm] \circ [/mm] g^- [mm] \, d\mu [/mm] und g=g^+ - g^-. Jetzt fehlt noch, dass [mm] f(\int_{} \! [/mm] g^+ - [mm] g^-\, d\mu )<=\int_{} \! [/mm] f [mm] \circ [/mm] (g^+ - [mm] g^-)\, d\mu [/mm] gilt. Dass f konvex, könnte dafür wichtig sein, leider komme ich jedoch nicht weiter.

Vielen Dank.

        
Bezug
Ungleichung: Konvexität
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:04 So 03.06.2012
Autor: wieschoo

verpennt
Bezug
                
Bezug
Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:40 So 03.06.2012
Autor: katrin10

Warum gilt dies für konvexe Funktionen? Wie kann ich mir konvexe Funktionen vorstellen?


Bezug
                        
Bezug
Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:40 Mo 04.06.2012
Autor: meili

Hallo,
> Warum gilt dies für konvexe Funktionen? Wie kann ich mir
> konvexe Funktionen vorstellen?
>  

Siehe []konvexe Funktionen

Gruß
meili

Bezug
                
Bezug
Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:59 Mo 04.06.2012
Autor: fred97


> Naja da f konvex ist hast du doch [mm]f(a+b)\le f(a)+f(b)[/mm] als
> Ungleichung.

Nein. Das ist z.B. für [mm] f(x)=x^2 [/mm] falsch.

     [mm] f(a+b)=a^2+2ab+b^2, f(a)+f(b)=a^2+b^2 [/mm]

Ist f konvex, so gilt:     [mm] f\left(\frac{x+y}{2}\right) \le \frac{f(x)+f(y)}{2} [/mm]


Bezug
                        
Bezug
Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:40 Mo 04.06.2012
Autor: wieschoo

Stimmt da habe ich total gepennt. Ich zieh alles zurück.

Bezug
                        
Bezug
Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:53 Mo 04.06.2012
Autor: katrin10

Wie könnte man die Aufgabe sonst lösen?

Bezug
                                
Bezug
Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:05 Di 05.06.2012
Autor: schachuzipus

Hallo,


> Wie könnte man die Aufgabe sonst lösen?

Einfach mal nach "Jensen'sche Ungleichung" suchen und einen der zahlreich im Netz vorhandenen Beweise angucken.

Etwa hier

http://www.math.uni-kiel.de/stochastik/roesler/vorlesung/mass/Mass.pdf

auf Seite 39, Satz 45 ...

Gruß

schachuzipus


Bezug
        
Bezug
Ungleichung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Di 05.06.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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