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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:49 Mi 06.06.2012 | | Autor: | mili03 |
| Aufgabe | Seien [mm] a,b\ge0 [/mm] und [mm] 0
Dann will ich folgendes beweisen:
[mm] \theta^r a^{1-r}+(1-\theta)^r b^{1-r}\le (a+b)^{1-r} [/mm] |
Hallo,
ich habe mir eine Skizze von der Funktion [mm] f(x)=x^{1-r} [/mm] gemacht. Diese ist konkav (wie eine Wurzelfunktion).
Mir macht aber nun das r im Exponenten von [mm] \theta [/mm] und [mm] (1-\theta) [/mm] Probleme, da gilt [mm] \theta^r>\theta [/mm] und [mm] (1-\theta)^r>1-\theta.
[/mm]
Hat jemand eine Idee für die Ungleichung?
Danke und Gruß, mili
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Hallo,
> Seien [mm]a,b\ge0[/mm] und [mm]0
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> Dann will ich folgendes beweisen:
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> [mm]\theta^r a^{1-r}+(1-\theta)^r b^{1-r}\le (a+b)^{1-r}[/mm]
Kürzen mit (a+b) liefert die Form der Ungleichung
[mm] \frac{a}{a+b}\left(\frac{\theta}{a}\right)^r+\frac{b}{a+b}\left(\frac{1-\theta}{b}\right)^r\le \left(\frac{1}{a+b}\right)^{r}.
[/mm]
In dieser Form folgt die Ungleichung aus der Jensen-Ungleichung für die konkave Funktion [mm] f(x)=x^r.
[/mm]
LG
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