Ungleichung Bedingte WSK < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Sa 12.03.2016 | | Autor: | nero08 |
Hallo!
Folgendes ist zu zeigen bzw. zu wiederlegen:
Wir werfen 2 Würfel, es existieren Events A,B und C.
Es gilt nun, dass P(A|C) [mm] \ge P(A|C^C) [/mm] und P(B|C) [mm] \ge P(B|C^C), [/mm] es soll gezeigt (bzw. wiederlegt) werden, dass [mm] P(A\cap [/mm] B| C [mm] \ge P(A\cap [/mm] B| [mm] C^C).
[/mm]
Ich habe nun zunächst mal versucht einen Beweis zu führen:
Zuerst schreibe ich mal die Vrs. um:
[mm] \bruch{P(A\cap C)}{P(C)} \ge \bruch{P(A\cap C^C)}{P(C^C)} [/mm] und [mm] \bruch{P(B\cap C)}{P(C)} \ge \bruch{P(B\cap C^C)}{P(C^C)}
[/mm]
Im nächsten Schritt summiere ich die jeweils "größeren" WSKs auf. Dies hat in einem vorherigen ähnlichen Bsp. schon ganz gut funktioniert:
P(A [mm] \cap [/mm] C) * [mm] P(C^C) [/mm] + [mm] P(C^C)*P(B \cap [/mm] C) [mm] \ge [/mm] P(A [mm] \cap C^C) [/mm] * P(C) + P(C)*P(B [mm] \cap C^C)
[/mm]
Nun gut, ich kann ja
P(A [mm] \cap [/mm] C) * [mm] P(C^C) [/mm] = P(A [mm] \cap [/mm] C [mm] \cap C^C) [/mm] schreiben, da von A [mm] \cup [/mm] C und [mm] C^C [/mm] der schnitt ja die leere Menge ist, oder?
Nun gut, wenn ich dies mache, bleibt jeweils nur die leere Menge übrig und somit jeweils die WSK 0, aber es kommt eben nicht das gewünschte raus...
Ein Gegenbeispiel kann ich auhc nicht finden....
Wo liegt der Fehler, gilt das ganze oder kann es wiederlegt werden?
danke und lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:24 Sa 12.03.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo nero08!
> Folgendes ist zu zeigen bzw. zu wiederlegen:
>
> Wir werfen 2 Würfel, es existieren Events A,B und C.
>
> Es gilt nun, dass P(A|C) [mm]\ge P(A|C^C)[/mm] und P(B|C) [mm]\ge P(B|C^C),[/mm]
> es soll gezeigt (bzw. wiederlegt) werden, dass [mm]P(A\cap[/mm] B| C
> [mm]\ge P(A\cap[/mm] B| [mm]C^C).[/mm]
>
> Ich habe nun zunächst mal versucht einen Beweis zu
> führen:
>
> Zuerst schreibe ich mal die Vrs. um:
>
> [mm]\bruch{P(A\cap C)}{P(C)} \ge \bruch{P(A\cap C^C)}{P(C^C)}[/mm]
> und [mm]\bruch{P(B\cap C)}{P(C)} \ge \bruch{P(B\cap C^C)}{P(C^C)}[/mm]
>
> Im nächsten Schritt summiere ich die jeweils "größeren"
> WSKs auf. Dies hat in einem vorherigen ähnlichen Bsp.
> schon ganz gut funktioniert:
>
> P(A [mm]\cap[/mm] C) * [mm]P(C^C)[/mm] + [mm]P(C^C)*P(B \cap[/mm] C) [mm]\ge[/mm] P(A [mm]\cap C^C)[/mm]
> * P(C) + P(C)*P(B [mm]\cap C^C)[/mm]
Bis hierhin eine korrekte Folgerung.
> Nun gut, ich kann ja
> P(A [mm]\cap[/mm] C) * [mm]P(C^C)[/mm] = P(A [mm]\cap[/mm] C [mm]\cap C^C)[/mm] schreiben, da
> von A [mm]\cup[/mm] C und [mm]C^C[/mm] der schnitt ja die leere Menge ist,
> oder?
Nein. Der Schnitt von [mm] $A\cap [/mm] C$ und [mm] $C^C$ [/mm] ist in der Tat die leere Menge.
Die Gleichheit P(A [mm]\cap[/mm] C) * [mm]P(C^C)[/mm] = P(A [mm]\cap[/mm] C [mm]\cap C^C)[/mm] würde genau dann gelten, wenn [mm] $A\cap [/mm] C$ und [mm] $C^c$ [/mm] stochastisch unabhängig wären. Dies ist jedoch im Allgemeinen nicht der Fall.
> Ein Gegenbeispiel kann ich auhc nicht finden....
>
> Wo liegt der Fehler, gilt das ganze oder kann es wiederlegt
> werden?
Die Aussage aus der Aufgabenstellung ist im Allgemeinen falsch.
Vorschlag von mir:
Betrachte die Ereignisse
[mm] $A\hat=$"der [/mm] erste Würfel zeigt eine 6"
[mm] $B\hat=$"der [/mm] zweite Würfel zeigt eine 6"
[mm] $C\hat=$"genau [/mm] einer der beiden Würfel zeigt eine 6".
(Die anschauliche und unpräzise Idee dahinter: $C$ "begünstigt" die beiden Wahrscheinlichkeiten für $A$ bzw. $B$, schließt jedoch [mm] $A\cap [/mm] B$ aus.)
Deine Aufgabe besteht nun darin, die bedingten Wahrscheinlichkeiten aus der Aufgabenstellung für die von mir eingeführten Ereignisse zu berechnen.
Warum ist damit die Aussage aus der Aufgabenstellung widerlegt?
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Sa 12.03.2016 | | Autor: | nero08 |
Okay, das hab ich hier übersehen.
Zum Gegenbeispiel:
P(A) = [mm] \bruch{6}{36} [/mm] // Das Event heißt ja, dass eine 6 gewürfelt wird, das ist mit den Paaren: (6,1);(6,2);....;(6,6) erfüllt
P(B) = [mm] \bruch{6}{36}// [/mm] wie oben mit (1,6);...;(6,6)
P(C) = [mm] \bruch{5}{36} [/mm] // Paare bei denen genau eine 6 vorkommt
Also haben wir für die Bedingungen der Aussage:
[mm] \bruch{P(A \cap C)}{P(C)} [/mm] = 0.5 [mm] \ge [/mm] 0.06= [mm] \bruch{P(B \cap C)}{P(C)}
[/mm]
UND
[mm] \bruch{P(A \cap C^C)}{P(C^C)} [/mm] = 0.5 [mm] \ge [/mm] 0.06= [mm] \bruch{P(B\cap C^C)}{P(C^C)}
[/mm]
Diese sind also erfüllt. Nun zur Aussange selbst:
Umgeschrieben haben wir [mm] \bruch{P(A \cap B \cap C)}{P(C)} [/mm] = 0 [mm] \ge \bruch{P(A \cap B \cap C^C)}{P(C^C)} [/mm] = 0.06
Im linken Teil der Ungleichung bleibt beim schneiden der Mengen A und B nur das Paar (6,6) über, dies wird jedoch von der Bedingung C augeschloßen. Bei der rechten Seite der Ungleichung ist dies nicht de Fall, da hier (6,6) logischerweise im Kompliment enthalten ist.
Naja, die Aussage würde mittels eines Gegenbeispieles wiederlegt, damit gilt sie nicht allgemein :).
Ich denke, das müsste passen? :)
danke und lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Sa 12.03.2016 | | Autor: | tobit09 |
> Zum Gegenbeispiel:
>
> P(A) = [mm]\bruch{6}{36}[/mm] // Das Event heißt ja, dass eine 6
> gewürfelt wird, das ist mit den Paaren:
> (6,1);(6,2);....;(6,6) erfüllt
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> P(B) = [mm]\bruch{6}{36}//[/mm] wie oben mit (1,6);...;(6,6)
> P(C) = [mm]\bruch{5}{36}[/mm] // Paare bei denen genau eine 6
> vorkommt
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Es gibt (genau) 10 Paare mit Komponenten aus [mm] $\{1,2,3,4,5,6\}$, [/mm] bei denen genau eine Komponente die Zahl 6 ist:
$(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6)$
und $(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)$.
> Also haben wir für die Bedingungen der Aussage:
>
> [mm]\bruch{P(A \cap C)}{P(C)}[/mm] = 0.5 [mm]\ge[/mm] 0.06= [mm]\bruch{P(B \cap C)}{P(C)}[/mm]
>
> UND
>
> [mm]\bruch{P(A \cap C^C)}{P(C^C)}[/mm] = 0.5 [mm]\ge[/mm] 0.06=
> [mm]\bruch{P(B\cap C^C)}{P(C^C)}[/mm]
Hier sind ein paar Buchstaben vertauscht.
Wie kommen die Werte zustande?
> Diese sind also erfüllt. Nun zur Aussange selbst:
>
> Umgeschrieben haben wir [mm]\bruch{P(A \cap B \cap C)}{P(C)}[/mm] =
> 0 [mm]\ge \bruch{P(A \cap B \cap C^C)}{P(C^C)}[/mm] = 0.06
Die 0 stimmt. Wie kommt die 0,06 zustande?
> Im linken Teil der Ungleichung bleibt beim schneiden der
> Mengen A und B nur das Paar (6,6) über, dies wird jedoch
> von der Bedingung C augeschloßen. Bei der rechten Seite
> der Ungleichung ist dies nicht de Fall, da hier (6,6)
> logischerweise im Kompliment enthalten ist.
OK.
> Naja, die Aussage würde mittels eines Gegenbeispieles
> wiederlegt, damit gilt sie nicht allgemein :).
So ist es, wenn du die obigen Kleinigkeiten korrigierst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:40 Sa 12.03.2016 | | Autor: | nero08 |
hobla, da hat sich einmal ein abschreibfehler und einmal ein copy-paste fehler eingeschlichen gg
danke für die Hilfe!
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