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| Aufgabe | Zeigen Sie dass für jedes [mm] n\in\IN [/mm] die nachfolgenden Ungleichungen gelten.
a) [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^2}<2
[/mm]
b) [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)}<1
[/mm]
c) [mm] \bruch{1}{3}n^2<\summe_{k=1}^{n}k^2<\bruch{1}{3}(n+1)^3
[/mm]
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Meine Frage: ist bei a) und b) überhaupt eine Induktion als Beweis nötig?
a) ist trivial: da [mm] k^2 [/mm] immer größer wird, 1 aber gleich bleibt wird der Bruch immer kleiner, d.h. er wird ja nicht mal größer als 1, geschweigen denn als 2 sondern nähert sich der 0 an. Mal ganz davon abgesehen dass hier gar kein n existiert? Dann hieße das [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^2}<2 [/mm] , wahr, weil [mm] \bruch{1}{1}=1<2. [/mm] und das wars, aber das erscheint mir zu einfach.
b) ist ebenfalls trivial, gleiche Bgründung wie bei a). Auch hier ist kein n vorhanden, hieße [mm] \bruch{1}{1(1+1}=\bruch{1}{2}<1. [/mm] Aussage stimmt also.
ein Problem habe ich mit c) Wie fange ich das an, den Beweis für c) [mm] \bruch{1}{3}n^2<\summe_{k=1}^{n}k^2<\bruch{1}{3}(n+1)^3?
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n}k^2 [/mm] kann ich ja nicht einfach mit (n+1) ergänzen. Und für k=1 gilt, dass dieser Teil immer 1 wäre. Wie mach ich jetzt weiter?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:58 Sa 06.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anjali!
Du "ignorierst" hier jedesmal das Summenzeichen. Es gilt doch z.B.
[mm] $$\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1^2}+\bruch{1}{2^2}+\bruch{1}{3^2}+...+\bruch{1}{n^2}$$
[/mm]
Von daher denke ich schon, dass Du hier jeweils zu einer vollständigen Induktion greifen musst.
Aber bei der 2. Reihe handelt es sich um eine sogenannte Teleskopreihe, da gilt:
[mm] $$\bruch{1}{k*(k+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+1}$$
[/mm]
Bei der 3. aufgabe kannst du ja evtl. mit der fertigen Formel arbeiten:
[mm] $$\summe_{k=1}^{n}k^2 [/mm] \ = \ [mm] 1^2+2^2+3^2+...+n^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n*(n+1)*(2n+1)}{6}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:15 Sa 06.12.2008 | | Autor: | anjali251 |
Danke, hilft mir weiter
Gruß Katharina
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