Ungleichung Beweisen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:44 Mi 28.04.2010 | | Autor: | Phyrex |
| Aufgabe | Seien p und q positive, reele Zahlen mit [mm] \bruch{1}{p} [/mm] + [mm] \bruch{1}{q} [/mm] = 1. Man beweise die folgene Behauptung. Für [mm] u\ge0 [/mm] und [mm] v\ge0 [/mm] gilt: [mm] uv\le\bruch{u^p}{p}+\bruch{v^q}{q}.
[/mm]
Es gilt Gleichheit genau dann, wenn [mm] u^p [/mm] = [mm] v^q [/mm] gilt. |
Hallo
Ich soll die oben genannte Aufgabe lösen und hab überhaupt keine Ahnung wie ich Anfangen soll. Mein 1. Gedanke war, das irgendwie über Induktion zu machen, jedoch schreckt mich das "reele Zahlen" irgendwie ab.
Hat jemand einen Tipp für mich?
Mfg Phyrex
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:23 Mi 28.04.2010 | | Autor: | Leon23 |
Die Idee für den Beweis geht über die Exponentialfunktion. Man nutzt dazu die strikte Konvexität der Exponentialfunktion, d.h.
[mm] $$\exp(\lambda [/mm] a + [mm] (1-\lambda) [/mm] b) [mm] \leq \lambda \exp(a) [/mm] + [mm] (1-\lambda)\exp( [/mm] b),$$
wobei Gleichheit nur gilt falls $a=b$. Damit und dem Potenzgesetz für den Logarithmus
$$ [mm] \ln u^p [/mm] = p [mm] \ln [/mm] u$$
kannst du die Aussage zeigen.
Als Start solltest du versuchen $uv$ mit Hilfe der Exponentialfunktion und des Logarithmus umzuschreiben.
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