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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Ungleichung EW und Varianz
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Ungleichung EW und Varianz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:52 Do 29.05.2014
Autor: Trikolon

Aufgabe
Es sei ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum gegeben und X: Omega --> IR ein Zufallsvariable mit Var[X] [mm] \le \infty. [/mm] Zeige für alle a [mm] \in [/mm] IR:

[mm] E[|X-a|^2] \ge [/mm] Var [x] gilt.

Hallo.

Die linke Seite lässt sich ja umschreiben zu
[mm] E[X^2-2aX+a^2]=E[X^2]-2aE[X]+a^2 [/mm]

Und [mm] Var[X]=E[X^2]-E[X]^2. [/mm]

Also kann man [mm] E[X^2] [/mm] „streichen“

Man muss zeigen:
[mm] 2aE[X]-a^2 \le E[X]^2. [/mm]

Jetzt habe ich die linke Seite als Funktion aufgefasst und das Maximum bestimmt, dieses wird für a=E[x] angenommen. In diesem Fall gilt Gleichheit und da es der maximale wert ist, gilt sonst immer: [mm] 2aE[X]-a^2 \le E[X]^2 [/mm]

        
Bezug
Ungleichung EW und Varianz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:29 Do 29.05.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Es sei ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum gegeben und X: Omega --> IR ein Zufallsvariable mit Var[X] [mm]\le \infty.[/mm]

Erstmal: Nutze doch bitte den Formeleditor, so will das niemand lesen.
Und: Ich hoffe mal, du meinst $Var[X] < [mm] \infty$ [/mm]

Sonst muss man da noch ein bisschen Arbeit reinstecken.

> Jetzt habe ich die linke Seite als Funktion aufgefasst

viel zu kompliziert. Bringe alles auf eine Seite und nutze eine binomische Formel.

Gruß,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Ungleichung EW und Varianz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:33 Do 29.05.2014
Autor: Trikolon

Ach ja, die habe ich ganz übersehen. Danke!

Ginge es theoretisch auch so, wie ich es gemacht habe?

Var[X] < [mm] \infty. [/mm] Genau


Und noch eine andere Frage: Weshalb braucht man in der Ungleichung denn unbedingt den Betrag? Man quadriert doch sowieso...

Bezug
                        
Bezug
Ungleichung EW und Varianz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:47 Do 29.05.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ginge es theoretisch auch so, wie ich es gemacht habe?

Ja, aber das ist mit Kanonen auf Spatzen geschossen.

> Und noch eine andere Frage: Weshalb braucht man in der Ungleichung denn unbedingt den Betrag?

Nein.

> Man quadriert doch sowieso...

Eben.

Gruß,
Gono.


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