Ungleichung (Gewichteter) Mit. < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es sei [mm] $n\in\IN_{>0}$ [/mm] und [mm] $x=(x_1,\dots,x_n)\in\IR_{>0}^n$.
[/mm]
a) Es sei [mm] $g(x_1,\dots,x_n)=\sqrt[n]{\prod x_j}$ [/mm] und [mm] $a(x_1,\dots,x_n)=1/n(\sum x_j)$. [/mm] Man zeige [mm] $g(x_1,\dots,x_n)\le a(x_1,\dots,x_n)$.
[/mm]
b) Für [mm] $\alpha\in\IN_{>0}^n$ [/mm] sei [mm] $x\bullet\alpha=\sum x_j\alpha_j$, $x^\alpha=\prod x_j^{\alpha_j}$ [/mm] und [mm] $|\alpha|=\sum\alpha_j$. [/mm] Man zeige [mm] $\sqrt[|\alpha|]{x^\alpha}\le(x\bullet\alpha)/|\alpha|$. [/mm] |
Hallo zusammen,
Zur a) habe ich mir folgende Gedanken gemacht: Zunächst möchte ich die Aussage für alle Zweierpotenzen $n$ zeigen. Für $n=1$ ist es trivial, für $n=2$ muss ich [mm] $\sqrt{ab}\le [/mm] (a+b)/2$ zeigen, das ist äquivalent zu [mm] $4ab\le a^2+2ab+b^2$, [/mm] also [mm] $0\le (a-b)^2$.
[/mm]
Es gilt [mm] $g(x_1,\dots,x_{2n})=g(g(x_1,\dots,x_n),g(x_{n+1},\dots,x_{2n}))$, [/mm] und analog für $a(x)$, das kann man sich leicht überlegen. Per Induktion kann man die Aussage für Zweierpotenzen folgern.
Für festes $n$ gilt nun [mm] $g(x_1,\dots,x_n)=g(x_1,\dots,x_n,g(x_1,\dots,x_n))$ [/mm] und analog für $a$. Das heißt aus der Aussage für $n+1$ würde die Aussage für $n$ folgen. Indem ich diesen Schritt wiederhole, bis ich bei einer Zweierpotenz ankomme, folgt die Aussage.
(Falls gewünscht, kann ich das noch etwas genauer ausführen.)
Bei der b) habe ich hingegen keine Ideen. Lässt sich mein Beweis übertragen? Oder benötige ich eine völlig neue Idee?
Vielen Dank und Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
| |
|
Oh, das war doof... Ich kann das ja einfach auf die a) zurückführen, indem ich [mm] g(\underbrace{x_1,\dots,x_1}_{\alpha_1\text{ mal}},\dots,\underbrace{x_n,\dots,x_n}_{\alpha_n\text{ mal}}) [/mm] betrachte. Ich glaube, das Thema kann geschlossen werden.
Edit: Eine interessante Frage wäre höchstens noch, wie es aussieht, wenn man für [mm] $\alpha_j$ [/mm] auch nicht-natürliche Zahlen zulässt.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Sa 17.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
