Ungleichung, Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] P(E_1 \cap E_2 \cap [/mm] ... [mm] \cap E_n [/mm] ) [mm] \ge \summe_{i=1}^{n} P(E_i) [/mm] - (n-1) |
Hallo,
das ist die sogenannte Bonferroni-Ungleichung , klingt netter als sie aussieht :D
Ich würde das gerne Schritt für Schritt machen , und zwar kann ich mit der linken Seite nix anfangen. Kann ich das irgendwie als [mm] \bigcap_{i=1}^{n} [/mm] schreiben ? Nützt mir dann das was ? Weil wenn ich beim Induktionsanfang die Ungleichung für 1 oder 0 beweisen soll, weiß ich nicht , wie ich das mit dem Einsetzen auf der linken Seite mache. Was kann ich also machen , um es bisschen zu vereinfachen ? Kann mans überhaupt vereinfachen ?
Vielen Dank im Voraus.
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> [mm]P(E_1 \cap E_2 \cap\ \ ....\ \ \cap E_n\,)\ \ge \summe_{i=1}^{n} P(E_i) - (n-1)[/mm]
> Ich würde das gerne Schritt für Schritt machen , und zwar
> kann ich mit der linken Seite nix anfangen. Kann ich das
> irgendwie als [mm]\bigcap_{i=1}^{n}[/mm] schreiben ?
Naja, wenn du magst: $\ [mm] P\left(\bigcap_{i=1}^{n}E_i\right)$ [/mm]
> Nützt mir dann das was ?
Meiner Ansicht nach kaum bis überhaupt nicht, mit
starker Tendenz zum letzteren Fall ... 
> Weil wenn ich beim Induktionsanfang die
> Ungleichung für 1 oder 0 beweisen soll, weiß ich nicht ,
> wie ich das mit dem Einsetzen auf der linken Seite mache.
> Was kann ich also machen , um es bisschen zu vereinfachen ?
> Kann mans überhaupt vereinfachen ?
Ich verstehe nicht recht, was du da vereinfachen möchtest.
So echt kompliziert ist das nun wirklich nicht.
Sinnvoll ist bei solchen Ausdrücken aber fast immer,
wenn man sie sich einmal für ein paar kleine n ganz
konkret macht, indem man sie vollständig (also eben
gerade ohne die Symbole [mm] \summe [/mm] und [mm] \bigcap [/mm] ausschreibt !
Mach dir also zuerst einmal klar, was aus der Ungleichung
$ [mm] P(E_1 \cap E_2 \cap\ [/mm] \ ....\ \ [mm] \cap E_n\,)\ \ge \summe_{i=1}^{n} P(E_i) [/mm] - (n-1) $
wird, wenn man n=1, n=2 oder n=3 setzt !
$ [mm] P(E_1)\ \ge \summe_{i=1}^{1} P(E_i) [/mm] - (1-1)\ =\ .......... $
$ [mm] P(E_1\, \cap E_2)\ \ge \summe_{i=1}^{2} P(E_i) [/mm] - (2-1)\ =\ .......... $
$ [mm] P(E_1\, \cap E_2\, \cap E_3)\ \ge \summe_{i=1}^{3} P(E_i) [/mm] - (3-1)\ =\ .......... $
(zunächst jetzt noch die Summen ausschreiben ohne [mm] \summe [/mm] !)
LG
Al-Chw.
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Vielen Dank für die Antwort.
Wenn ich für n =1 einsetze :
$ [mm] P(E_1)\ \ge \summe_{i=1}^{1} P(E_i) [/mm] - (1-1)\ = [mm] P(E_1) [/mm]
Also :
[mm] P(E_1) \ge P(E_1) [/mm] , okay stimmt.
Und wenn ich für n=2 rechne:
[mm] P(E_1 \cap E_2) \ge \summe_{i=1}^{2} P(E_i) [/mm] = [ [mm] P(E_1) [/mm] - (1-1) ] + [ ( [mm] P(E_2) [/mm] - (2-1) ] = [mm] P(E_1) [/mm] + [mm] P(E_2) [/mm] -1
Naja , ist jetzt die Frage , ob [mm] P(E_1 \cap E_2) \ge P(E_1) [/mm] + [mm] P(E_2) [/mm] -1 ist.. Kann das grad nicht erkennen.
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> Vielen Dank für die Antwort.
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> Wenn ich für n =1 einsetze :
>
> $ [mm]P(E_1)\ \ge \summe_{i=1}^{1} P(E_i)[/mm] - (1-1) = [mm]P(E_1)[/mm]
>
> Also :
> [mm]P(E_1) \ge P(E_1)[/mm] , okay stimmt.
>
> Und wenn ich für n=2 rechne:
>
> [mm]P(E_1 \cap E_2) \ge \summe_{i=1}^{2} P(E_i)[/mm] = [ [mm]P(E_1)[/mm] - ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> (1-1) ] + [ ( [mm]P(E_2)[/mm] - (2-1) ] = [mm]P(E_1)[/mm] + [mm]P(E_2)[/mm] -1 ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Ich denke, dass du da etwas missverstanden hast.
Die Behauptung
$ [mm] P(E_1 \cap E_2\, \cap [/mm] $ ... $ [mm] \cap\, E_n [/mm] $ ) $ [mm] \ge \summe_{i=1}^{n} P(E_i) [/mm] $ - (n-1)
sollte wohl, damit sie wirklich klar verständlich
wird, ein zusätzliches Klammerpaar haben:
$ [mm] P(E_1 \cap E_2\, \cap [/mm] $ ... $ [mm] \cap\, E_n [/mm] $ ) $ [mm] \ge \left(\summe_{i=1}^{n} P(E_i)\right) [/mm] $ - (n-1)
> Naja , ist jetzt die Frage , ob [mm]P(E_1 \cap E_2) \ge P(E_1)[/mm]
> + [mm]P(E_2)[/mm] -1 ist.. Kann das grad nicht erkennen.
Dann überleg dir doch mal, ob du irgendwo schon
mal eine Formel der Art $\ [mm] P(A\cap [/mm] B)\ =\ .......$
angetroffen hast.
LG , Al-Chw.
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> Dann überleg dir doch mal, ob du irgendwo schon
> mal eine Formel der Art [mm]\ P(A\cap B)\ =\ .......[/mm]
>
> angetroffen hast.
>
> LG , Al-Chw.
Hallo,
ja also bei der bedingten Wahrscheinlichkeit, ich habs grad selber gemerkt , als ich mir die Formel angeguckt habe und nach P(A [mm] \cap [/mm] B) umgeformt habe. Stimmt schon , dass das größer ist.
Noch mal zurück zu n=2, jetzt mit Klammerpaar:
$ [mm] P(E_1 \cap E_2\, \cap [/mm] $ ... $ [mm] \cap\, E_n [/mm] $ ) $ [mm] \ge \left(\summe_{i=1}^{n} P(E_i)\right) [/mm] $ - (n-1)
So , wenn ich jetzt für n=2 einsetze , habe ich erstmal:
[mm] P(E_1 \cap E_2\ [/mm] ) $ [mm] \ge \left(\summe_{i=1}^{2} P(E_i)\right) [/mm] $ - (2-1)
Das Klammerpaar heißt ja jetzt , dass das Argument in [mm] \summe [/mm] auch nur zu [mm] \summe [/mm] gehört , und wenn ich von j=1 bis n=2 gehe , heißt es also , dass ich P ( [mm] (E_1 [/mm] + [mm] E_2) [/mm] ) habe oder nicht ?
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> > Dann überleg dir doch mal, ob du irgendwo schon
> > mal eine Formel der Art [mm]\ P(A\cap B)\ =\ .......[/mm]
> >
> > angetroffen hast.
> >
> > LG , Al-Chw.
> Hallo,
>
> ja also bei der bedingten Wahrscheinlichkeit, ich habs grad
> selber gemerkt , als ich mir die Formel angeguckt habe und
> nach P(A [mm]\cap[/mm] B) umgeformt habe. Stimmt schon , dass das
> größer ist.
Ich dachte an die Formel $\ [mm] P(A\cap [/mm] B)\ =\ P(A)\ +\ P(B)\ -\ [mm] P(A\cup [/mm] B)$
> Noch mal zurück zu n=2, jetzt mit Klammerpaar:
>
> [mm]P(E_1 \cap E_2)\, \cap[/mm] ... [mm]\cap\, E_n[/mm] ) [mm]\ge \left(\summe_{i=1}^{n} P(E_i)\right)[/mm]
> - (n-1)
>
> So , wenn ich jetzt für n=2 einsetze , habe ich erstmal:
>
> [mm]P(E_1 \cap E_2\[/mm] ) [mm]\ge \left(\summe_{i=1}^{2} P(E_i)\right)\ -\,(2-1)[/mm]
> Das Klammerpaar heißt ja jetzt , dass das Argument in
> [mm]\summe[/mm] auch nur zu [mm]\summe[/mm] gehört , und wenn ich von j=1
> bis n=2 gehe , heißt es also , dass ich P ( [mm](E_1[/mm] + [mm]E_2)[/mm] )
> habe oder nicht ?
Was soll jetzt P ( [mm](E_1\ +\ E_2)[/mm] ) bedeuten ?
Richtig ist:
$\ [mm] P(E_1 \cap E_2)\ [/mm] \ [mm] \ge\ P(E_1)\,+\,P(E_2)\ [/mm] -\ [mm] \underbrace{(2-1)}_1$
[/mm]
(das hattest du früher schon, aber mit einer fehler-
haften Begründung)
LG , Al-Chw.
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Alles klar , danke für die Antwort.
Nun , jetzt kommen wir eigentlich zum Kern.
$ [mm] P(E_1 \cap E_2)\, \cap [/mm] $ ... $ [mm] \cap\, E_n [/mm] $ ) $ [mm] \ge \left(\summe_{i=1}^{n} P(E_i)\right) [/mm] $ - (n-1)
Induktionsanfang etc überspringe ich jetzt mal , wir hatten das ja schon. Also gelte die Aussage für n=1
Wie schließe ich nun auf n-> n+1
Könnte ich da paar Tipps bekommen ? Ich hab darüber nachgedacht , und denke , dass man irgendie die rechte Seite umformen muss, aber mehr weiß ich da auch nicht. Ich finde die Ungleichung auch schon schwer für einen Beweis, die ist nicht ohne..
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> Alles klar , danke für die Antwort.
>
> Nun , jetzt kommen wir eigentlich zum Kern.
Richtig.
> [mm]P(E_1 \cap E_2\, \cap\ .....\ \cap\, E_n\,)\ \ge \left(\summe_{i=1}^{n} P(E_i)\right)\ -\, (n-1)[/mm]
(dies ist die für alle [mm] n\in\IN^{\ast} [/mm] zu beweisende Aussage A(n) )
> Induktionsanfang etc überspringe ich jetzt mal , wir
> hatten das ja schon. Also gelte die Aussage für n=1
Eigentlich hätte ich schon gerne zuerst noch gesehen,
wie du den Fall n=2 direkt zeigst. Kleine Schritte machen
einen fit für größere Touren !
> Wie schließe ich nun auf n-> n+1
> Könnte ich da paar Tipps bekommen ? Ich hab darüber
> nachgedacht , und denke , dass man irgendie die rechte
> Seite umformen muss, aber mehr weiß ich da auch nicht. Ich
> finde die Ungleichung auch schon schwer für einen Beweis,
> die ist nicht ohne..
Nun, schreib dir einmal die Aussagen A(n) (siehe oben)
und A(n+1) auf. Und dann scheint doch klar, dass man
verwenden sollte, dass
$\ [mm] E_1 \cap E_2\, \cap\ [/mm] .....\ [mm] \cap\, E_{n+1}\ [/mm] =\ [mm] (E_1 \cap E_2\, \cap\ [/mm] .....\ [mm] \cap\, E_n)\ \cap\, E_{n+1}$
[/mm]
Diese Zerlegung ist der zentrale Ansatzpunkt für den
Beweis des Induktionsschrittes.
LG , Al-Chw.
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> [mm]\ E_1 \cap E_2\, \cap\ .....\ \cap\, E_{n+1}\ =\ (E_1 \cap E_2\, \cap\ .....\ \cap\, E_n)\ \cap\, E_{n+1}[/mm]
>
> Diese Zerlegung ist der zentrale Ansatzpunkt für den
> Beweis des Induktionsschrittes.
>
> LG , Al-Chw.
Hallo,
ja diese Zerlegung verstehe ich. Nach IV gilt die Aussage für [mm] (E_1 \cap E_2\, \cap\ [/mm] ..... [mm] \cap, E_n)\
[/mm]
Da wir jetzt aber auf der linken Seite [mm] E_{n+1} [/mm] dazu genommen haben, müssen wir das doch auch auf der rechten Seite machen oder ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 Fr 03.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> > [mm]\ E_1 \cap E_2\, \cap\ .....\ \cap\, E_{n+1}\ =\ (E_1 \cap E_2\, \cap\ .....\ \cap\, E_n)\ \cap\, E_{n+1}[/mm]
>
> >
> > Diese Zerlegung ist der zentrale Ansatzpunkt für den
> > Beweis des Induktionsschrittes.
> >
> > LG , Al-Chw.
>
> Hallo,
> ja diese Zerlegung verstehe ich. Nach IV gilt die Aussage
> für [mm](E_1 \cap E_2\, \cap\[/mm] ..... [mm]\cap, E_n)\[/mm]
>
> Da wir jetzt aber auf der linken Seite [mm]E_{n+1}[/mm] dazu
> genommen haben, müssen wir das doch auch auf der rechten
> Seite machen oder ?
>
Nein, du sollst auf die rechte Seite mit der Induktionsvorraussetzung kommen!
DieAcht
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Hallo,
also wir haben ja
$ \ [mm] E_1 \cap E_2\, \cap\ [/mm] .....\ [mm] \cap\, E_{n+1}\ [/mm] =\ [mm] (E_1 \cap E_2\, \cap\ [/mm] .....\ [mm] \cap\, E_n)\ \cap\, E_{n+1} [/mm] $
[mm] (E_1 \cap E_2\, \cap\ [/mm] .... [mm] \cap, E_n)\ \cap\, E_{n+1} [/mm]
[mm] \ge \summe_{i=1}^{n}Pr(E_i) [/mm] - (n-1)
Muss ich jetzt nicht auf der rechten Seite auf
[mm] \ge \summe_{i=1}^{n+1}Pr(E_i) [/mm] - ((n+1)-1) kommen durch Umformen? Erst dann kann doch die IV kommen oder ? Verstehe den Zusammenhang nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Fr 03.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> [mm] (E_1 \cap E_2\, \cap\ [/mm] .... [mm] \cap, E_n)\ \cap\, E_{n+1}\ge \summe_{i=1}^{n}Pr(E_i)-(n-1)
[/mm]
Wo ist das [mm] E_{n+1} [/mm] abgeblieben?
> Muss ich jetzt nicht auf der rechten Seite auf [mm] \ge \summe_{i=1}^{n+1}Pr(E_i)-((n+1)-1) [/mm] kommen durch Umformen?
Durch IV + Umformung.
> Erst dann kann doch die IV kommen oder ?
Es gelte für ein beliebiges, aber festes [mm] n\in\IN, [/mm] die Behauptung
[mm] P\left(\bigcap_{i=1}^{n}E_i\right)\ge\sum_{i=1}^{n} P(E_i)-(n-1).
[/mm]
Zu zeigen:
[mm] P\left(\bigcap_{i=1}^{n+1}E_i\right)\ge\sum_{i=1}^{n+1} P(E_i)-n
[/mm]
Es ist hier egal ob du von links oder rechts anfangen willst.
Ziel ist es durch die IV auf die andere Seite zu kommen!
DieAcht
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> Hallo,
>
>
> > [mm](E_1 \cap E_2\, \cap\[/mm] .... [mm]\cap, E_n)\ \cap\, E_{n+1}\ge \summe_{i=1}^{n}Pr(E_i)-(n-1)[/mm]
>
> Wo ist das [mm]E_{n+1}[/mm] abgeblieben?
Wo muss das hin ? Also ich weiß , dass es auf die rechte Seite noch kommen muss , aber wie schreibt man das auf ?
> [mm]P\left(\bigcap_{i=1}^{n+1}E_i\right)\ge\sum_{i=1}^{n+1} P(E_i)-n[/mm]
Okay, also danke erstmal.
Was mir für die linke Seite einfällt.
P [mm] \underbrace{(\bigcap_{i=1}^{n} E_i)}_{=IV} \cap E_{n+1} \ge \summe_{i=1}^{n+1} P(E_i)-n
[/mm]
Geht das so ?
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Ich habe noch ein wenig weitergemacht , bin mir aber nicht sicher, ob es richtig ist :
$ [mm] \underbrace{P(\bigcap_{i=1}^{n} E_i)}_{=IV} \cap E_{n+1} \ge \summe_{i=1}^{n+1} P(E_i)-n [/mm] $
[mm] \underbrace{P(\bigcap_{i=1}^{n} E_i)}_{=IV} \cap E_{n+1} \ge \summe_{i=1}^{n} P(E_i) [/mm] + [mm] P(E_{n+1}) [/mm] -1
Hier endet mein Latein.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:05 Sa 04.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Ich habe noch ein wenig weitergemacht , bin mir aber nicht
> sicher, ob es richtig ist :
>
>
> [mm]\underbrace{P(\bigcap_{i=1}^{n} E_i)}_{=IV} \cap E_{n+1} \ge \summe_{i=1}^{n+1} P(E_i)-n[/mm]
>
> [mm]\underbrace{P(\bigcap_{i=1}^{n} E_i)}_{=IV}\cap E_{n+1}\ge\summe_{i=1}^{n}=P(E_i)[/mm]
> + [mm]P(E_{n+1})[/mm] -1
>
> Hier endet mein Latein.
Du willst von links nach rechts, okay!
Zu zeigen:
[mm] P\left(\bigcap_{i=1}^{n+1}E_i\right)\ge\sum_{i=1}^{n+1} P(E_i)-n [/mm]
Beweis:
[mm] P\left(\bigcap_{i=1}^{n+1}E_i\right)=\ E_1 \cap E_2\, \cap\ldots\ \cap\,E_{n+1}=(E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)\ \cap\, E_{n+1}
[/mm]
Beachte nun:
1. $ \ [mm] P(A\cap [/mm] B)\ =\ P(A)\ +\ P(B)\ -\ [mm] P(A\cup [/mm] B) $
2. Nutze deine Induktionsvorraussetzung
3. Hör auf immer direkt auf deine rechte Seite kommen zu wollen!
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:07 Sa 04.01.2014 | | Autor: | pc_doctor |
Okay, danke für die Antwort.
Ich bin zu müde um noch weiterzumachen. Ich werde mich morgen wieder melden. Danke für alle Antworten. Gute Nacht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Fr 03.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> > Hallo,
> >
> >
> > > [mm](E_1 \cap E_2\, \cap\[/mm] .... [mm]\cap, E_n)\ \cap\, E_{n+1}\ge \summe_{i=1}^{n}Pr(E_i)-(n-1)[/mm]
>
> >
> > Wo ist das [mm]E_{n+1}[/mm] abgeblieben?
>
> Wo muss das hin ? Also ich weiß , dass es auf die rechte
> Seite noch kommen muss , aber wie schreibt man das auf ?
>
> > [mm]P\left(\bigcap_{i=1}^{n+1}E_i\right)\ge\sum_{i=1}^{n+1} P(E_i)-n[/mm]
>
> Okay, also danke erstmal.
>
> Was mir für die linke Seite einfällt.
>
> P [mm]\underbrace{(\bigcap_{i=1}^{n} E_i)}_{=IV} \cap E_{n+1} \ge \summe_{i=1}^{n+1} P(E_i)-n[/mm]
>
> Geht das so ?
>
Nein. Du sollst von der einen zur anderen Seite kommen!
DieAcht
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> > [mm]P\left(\bigcap_{i=1}^{n+1}E_i\right)\ge\sum_{i=1}^{n+1} P(E_i)-n[/mm]
>
> Okay, also danke erstmal.
>
> Was mir für die linke Seite einfällt.
>
> P [mm]\underbrace{(\bigcap_{i=1}^{n} E_i)}_{=IV} \cap E_{n+1} \ge \summe_{i=1}^{n+1} P(E_i)-n[/mm]
>
> Geht das so ?
Hallo pc_doc,
die Induktionsvoraussetzung ist keine Wahrscheinlichkeit,
kein Ereignis und auch kein Term, sondern eine Aussage,
nämlich diese:
A(n) : $ [mm] P(E_1 \cap E_2\, \cap\ [/mm] .....\ [mm] \cap\, E_n\,)\ \ge \left(\summe_{i=1}^{n} P(E_i)\right)\ -\, [/mm] (n-1) $
Daraus soll die analoge Aussage A(n+1) für die nächst-
folgende natürliche Zahl hergeleitet werden:
A(n+1) : $ [mm] P(E_1 \cap E_2\, \cap\ [/mm] .....\ [mm] \cap\, E_n\,\cap\, E_{n+1})\ \ge \left(\summe_{i=1}^{n+1} P(E_i)\right)\ -\, [/mm] ((n+1)-1) $
So, und jetzt kann man links das Gesetz
$ \ [mm] P(A\cap [/mm] B)\ =\ P(A)\ +\ P(B)\ -\ [mm] P(A\cup [/mm] B) $
anwenden, nämlich mit $\ [mm] A=E_1 \cap E_2\, \cap\ [/mm] .....\ [mm] \cap\, E_n$ [/mm] und $\ [mm] B=E_{n+1}$
[/mm]
Auf der rechten Seite teilt man die (n+1)-Summe
auf in die (n)-Summe und den zusätzlichen
einzelnen Summanden.
Schreib das mal ausführlich hin und mach dir klar,
wie du die Vereinigungsmenge [mm] A\cup{B} [/mm] bzw. deren
Wahrscheinlichkeit [mm] P(A\cup{B}) [/mm] wieder aus der Rechnung
entfernen kannst. Tipp: es gilt ja nur, eine Ungleichung
zu beweisen.
Bitte zitiere bei weiteren Fragen alles, worauf man
zurückgreifen können sollte !
LG , Al-Chw.
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>
> Daraus soll die analoge Aussage A(n+1) für die nächst-
> folgende natürliche Zahl hergeleitet werden:
>
> A(n+1) : [mm]P(E_1 \cap E_2\, \cap\ .....\ \cap\, E_n\,\cap\, E_{n+1})\ \ge \left(\summe_{i=1}^{n+1} P(E_i)\right)\ -\, ((n+1)-1)[/mm]
>
> So, und jetzt kann man links das Gesetz
>
> [mm]\ P(A\cap B)\ =\ P(A)\ +\ P(B)\ -\ P(A\cup B)[/mm]
>
> anwenden, nämlich mit [mm]\ A=E_1 \cap E_2\, \cap\ .....\ \cap\, E_n[/mm]
> und [mm]\ B=E_{n+1}[/mm]
>
> Auf der rechten Seite teilt man die (n+1)-Summe
> auf in die (n)-Summe und den zusätzlichen
> einzelnen Summanden.
>
> Schreib das mal ausführlich hin und mach dir klar,
> wie du die Vereinigungsmenge [mm]A\cup{B}[/mm] bzw. deren
> Wahrscheinlichkeit [mm]P(A\cup{B})[/mm] wieder aus der Rechnung
> entfernen kannst. Tipp: es gilt ja nur, eine Ungleichung
> zu beweisen.
> LG , Al-Chw.
>
>
Hallo Al-Chw.,
danke für die Antwort.
Okay , als erstes würde ich dann die Summe auf der rechten Seite aufteilen. Weiß aber nicht wie das geht.
Ich habe
[mm] (\summe_{i=1}^{n+1} P(E_i))\ -\, [/mm] ((n+1)-1)
Zerteilen:
[mm] \summe_{i=1}^{n} P(E_i) [/mm] + (...)
Was setze ich jetzt in (...) ein , ich weiß nicht , wie ich das +1 von (n+1) aufschreiben soll.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Sa 04.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Okay , als erstes würde ich dann die Summe auf der
> rechten Seite aufteilen. Weiß aber nicht wie das geht.
>
> Ich habe
>
> [mm](\summe_{i=1}^{n+1} P(E_i))\ -\,[/mm] ((n+1)-1)
Was willst du eigentlich machen?
Du wolltest die ganze Zeit von links nach rechts und nun willst du von rechts nach links?
>
> Zerteilen:
> [mm]\summe_{i=1}^{n} P(E_i)[/mm] + (...)
>
> Was setze ich jetzt in (...) ein , ich weiß nicht , wie
> ich das +1 von (n+1) aufschreiben soll.
Meinst du das ernst?
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}a_k=(a_1+a_2+\ldots+a_n)+a_{n+1}=(\summe_{k=1}^{n}a_k)+a_{n+1} [/mm] (Klammern dienen eigentlich nur zur Hilfe)
Fang einfach links an und halte dich an die Anleitung, die wir dir gegeben haben.
Zu zeigen:
[mm] P\left(\bigcap_{i=1}^{n+1}E_i\right)\ge\sum_{i=1}^{n+1} P(E_i)-n [/mm]
So fängst du an:
[mm] P\left(\bigcap_{i=1}^{n+1}E_i\right)=\ E_1 \cap E_2\, \cap\ldots\ \cap\,E_{n+1}=(E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)\ \cap\, E_{n+1}
[/mm]
Hier willst du landen:
[mm] \ldots\ge\sum_{i=1}^{n+1} P(E_i)-n [/mm]
Beachte nun:
1. $ \ [mm] P(A\cap [/mm] B)\ =\ P(A)\ +\ P(B)\ -\ [mm] P(A\cup [/mm] B) $
2. Nutze deine Induktionsvorraussetzung
3. Hör auf immer direkt auf deine rechte Seite kommen zu wollen!
Noch ein Schritt weiter:
[mm] P\left(\bigcap_{i=1}^{n+1}E_i\right)=\ E_1 \cap E_2\, \cap\ldots\ \cap\,E_{n+1}=(E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)\ \cap\, E_{n+1}=P(E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)+P(E_{n+1})-P((E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)\cup(P(E_{n+1})))
[/mm]
DieAcht
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Hallo, danke für die Antwort.
> Hier willst du landen:
>
> [mm]\ldots\ge\sum_{i=1}^{n+1} P(E_i)-n[/mm]
>
> Beachte nun:
>
> 1. [mm]\ P(A\cap B)\ =\ P(A)\ +\ P(B)\ -\ P(A\cup B)[/mm]
> 2. Nutze deine Induktionsvorraussetzung
> 3. Hör auf immer direkt auf deine rechte Seite kommen zu
> wollen!
>
> Noch ein Schritt weiter:
>
> [mm]P\left(\bigcap_{i=1}^{n+1}E_i\right)=\ E_1 \cap E_2\, \cap\ldots\ \cap\,E_{n+1}=(E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)\ \cap\, E_{n+1}=P(E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)+P(E_{n+1})-P((E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)\cup(P(E_{n+1})))[/mm]
>
>
> DieAcht
Und [mm] \overbrace{P(E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)}^{=IV} +P(E_{n+1})-P((E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)\cup(P(E_{n+1})))
[/mm]
Dort wo ich IV stehen habe , dieser Summand ist nach IV [mm] \ge [/mm] $ [mm] \summe_{i=1}^{n} P(E_i) [/mm] - (n-1) $ Da ich aber jetzt n+1 auf der linken Seite dazu addiert habe , muss ich es auf der rechten Seite auch machen , also habe ich dann ja wieder $ [mm] \ldots\ge\sum_{i=1}^{n+1} P(E_i)-n [/mm] $ .
Aber wie bekomme ich dann [mm] P((E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)\cup(P(E_{n+1})) [/mm] wieder raus ? Denn wenn ich [mm] P((E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)\cup(P(E_{n+1})) [/mm] rauskriege , wäre ich ja fertig , oder ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Sa 04.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Hallo, danke für die Antwort.
>
>
>
> > Hier willst du landen:
> >
> > [mm]\ldots\ge\sum_{i=1}^{n+1} P(E_i)-n[/mm]
> >
> > Beachte nun:
> >
> > 1. [mm]\ P(A\cap B)\ =\ P(A)\ +\ P(B)\ -\ P(A\cup B)[/mm]
> > 2. Nutze deine Induktionsvorraussetzung
> > 3. Hör auf immer direkt auf deine rechte Seite kommen zu
> > wollen!
> >
> > Noch ein Schritt weiter:
> >
> > [mm]P\left(\bigcap_{i=1}^{n+1}E_i\right)=\ E_1 \cap E_2\, \cap\ldots\ \cap\,E_{n+1}=(E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)\ \cap\, E_{n+1}=P(E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)+P(E_{n+1})-P((E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)\cup(P(E_{n+1})))[/mm]
>
> >
> >
> > DieAcht
>
>
> Und [mm]\overbrace{P(E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)}^{=IV} +P(E_{n+1})-P((E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)\cup(P(E_{n+1})))[/mm]
>
> Dort wo ich IV stehen habe , dieser Summand ist nach IV [mm]\ge[/mm]
> [mm]\summe_{i=1}^{n} P(E_i) - (n-1)[/mm] Da ich aber jetzt n+1 auf
> der linken Seite dazu addiert habe , muss ich es auf der
> rechten Seite auch machen , also habe ich dann ja wieder
> [mm]\ldots\ge\sum_{i=1}^{n+1} P(E_i)-n[/mm] .
>
>
> Aber wie bekomme ich dann [mm]P((E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)\cup(P(E_{n+1}))[/mm]
> wieder raus ? Denn wenn ich [mm]P((E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)\cup(P(E_{n+1}))[/mm]
> rauskriege , wäre ich ja fertig , oder ?
Vergiss die rechte Seite und setze die Induktionsvorraussetzung einfach ein!
[mm] \overbrace{P(E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)}^{=IV} +P(E_{n+1})-P((E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)\cup(P(E_{n+1})))\ge\summe_{i=1}^{n} P(E_i)-(n-1)+P(E_{n+1})-P((E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)\cup(P(E_{n+1})))
[/mm]
Jetzt du!
DieAcht
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> Vergiss die rechte Seite und setze die
> Induktionsvorraussetzung einfach ein!
>
> [mm]\overbrace{P(E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)}^{=IV} +P(E_{n+1})-P((E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)\cup(P(E_{n+1})))\ge\summe_{i=1}^{n} P(E_i)-(n-1)+P(E_{n+1})-P((E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)\cup(P(E_{n+1})))[/mm]
>
> Jetzt du!
>
>
> DieAcht
Hallo,
naja wenn nach IV
[mm] P(E_1 \cap E_2 \cap... \cap E_n) \ge \summe_{i=1}^{n} P(E_i) [/mm] - (n-1) dann ist auch
$ [mm] P(E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n) +P(E_{n+1})-P((E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)\cup(P(E_{n+1})))\ge\summe_{i=1}^{n} P(E_i)-(n-1)+P(E_{n+1})-P((E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)\cup(P(E_{n+1}))) [/mm] $
Weil auf beiden Seite addiere ich jeweils das Gleiche , das ändert ja nix an der Tatsache, dass die linke Seite [mm] \ge [/mm] die rechte ist. Verstehe nicht , was man da noch zeigen soll. Durch die IV hat man es ja schon.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:39 Sa 04.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> > Vergiss die rechte Seite und setze die
> > Induktionsvorraussetzung einfach ein!
> >
> > [mm]\overbrace{P(E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)}^{=IV} +P(E_{n+1})-P((E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)\cup(P(E_{n+1})))\ge\summe_{i=1}^{n} P(E_i)-(n-1)+P(E_{n+1})-P((E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)\cup(P(E_{n+1})))[/mm]
>
> >
> > Jetzt du!
> >
> >
> > DieAcht
>
> Hallo,
>
> naja wenn nach IV
>
> [mm]P(E_1 \cap E_2 \cap... \cap E_n) \ge \summe_{i=1}^{n} P(E_i)[/mm]
> - (n-1) dann ist auch
>
> [mm]P(E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n) +P(E_{n+1})-P((E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)\cup(P(E_{n+1})))\ge\summe_{i=1}^{n} P(E_i)-(n-1)+P(E_{n+1})-P((E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)\cup(P(E_{n+1})))[/mm]
>
> Weil auf beiden Seite addiere ich jeweils das Gleiche , das
> ändert ja nix an der Tatsache, dass die linke Seite [mm]\ge[/mm]
> die rechte ist. Verstehe nicht , was man da noch zeigen
> soll. Durch die IV hat man es ja schon.
Du hast nur die Induktionsvorraussetzung eingesetzt, mehr nicht!
Du hast
[mm] \summe_{i=1}^{n} P(E_i)-(n-1)+P(E_{n+1})-P((E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)\cup(P(E_{n+1})))
[/mm]
... und musst kommen auf:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} P(E_i)-n
[/mm]
DieAcht
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> Du hast nur die Induktionsvorraussetzung eingesetzt, mehr
> nicht!
>
> Du hast
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} P(E_i)-(n-1)+P(E_{n+1})-P((E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)\cup(P(E_{n+1})))[/mm]
>
> ... und musst kommen auf:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1} P(E_i)-n[/mm]
>
>
> DieAcht
Hallo,
[mm] \summe_{i=1}^{n} P(E_i)-(n-1)+P(E_{n+1})-P((E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)\cup(P(E_{n+1}))) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n+1} P(E_i) [/mm] -(n-1) [mm] +P(E_{n+1})-P((E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)\cup(P(E_{n+1})))
[/mm]
Hab versucht, [mm] \summe [/mm] anders aufzuschreiben
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Vielleicht
[mm] \summe_{i=1}^{n} P(E_i)+P(E_{n+1})-(n-1) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n+1} P(E_i)+P(E_n)-(n-1)
[/mm]
Ich habe mal den Rest kurz weggelassen, damit es übersichtlich bleibt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Sa 04.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Vielleicht
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> [mm]\summe_{i=1}^{n} P(E_i)+P(E_{n+1})-(n-1)[/mm] =
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1} P(E_i)+P(E_n)-(n-1)[/mm]
>
> Ich habe mal den Rest kurz weggelassen, damit es
> übersichtlich bleibt.
Nein, denn es gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n} P(E_i)+P(E_{n+1})=P(E_1)+P(E_2)+\ldots+P(E_n)+P(E_{n+1})\not=\summe_{i=1}^{n+1} P(E_i)+P(E_n)=P(E_1)+P(E_2)+\ldots+P(E_n)+P(E_{n+1})+P(E_n)
[/mm]
DieAcht
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Boah , ich komm da echt nicht drauf. Stehe aufm Schlauch.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:35 Sa 04.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Boah , ich komm da echt nicht drauf. Stehe aufm Schlauch.
Ich will dir nichts unterstellen, aber du denkst zu wenig nach!
Das Problem ist sehr elementar!
Kummutativgesetz:
[mm] \summe_{i=1}^{n} P(E_i)-(n-1)+P(E_{n+1})-P((E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)\cup(P(E_{n+1})))=\summe_{i=1}^{n} P(E_i)+P(E_{n+1})-P((E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)\cup(P(E_{n+1})))-(n-1)
[/mm]
Es gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n} P(E_i)+P(E_{n+1})-P((E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)\cup(P(E_{n+1})))-(n-1)=P(E_1)+P(E_2)+\ldots+P(E_n)+P(E_{n+1})-P((E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)\cup(P(E_{n+1})))-(n-1)=\summe_{i=1}^{n+1}P(E_i)-P((E_1\cap E_2\,\cap\ldots\cap\, E_n)\cup(P(E_{n+1})))-(n-1)
[/mm]
... du musst kommen auf:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} P(E_i)-n
[/mm]
Das ist nun einfach!
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:01 Sa 04.01.2014 | | Autor: | pc_doctor |
Okay, vielen Dank für die ganzen Antworten.
Ich muss mir das alles noch mal in Ruhe anschauen.
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