Ungleichung Integral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 Di 05.08.2014 | | Autor: | Calculu |
| Aufgabe | Sei f: [a,b] [mm] \to (0,\infty) [/mm] stetig. Zeigen Sie: [mm] (\integral_{a}^{b}{f(x) dx})(\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{f(x)} dx}) \ge (b-a)^{2}
[/mm]
Hinweis: Benutzen Sie, dass [mm] \bruch{1}{2}*(\bruch{f(x)}{f(y)}+\bruch{f(y)}{f(x)}) \ge [/mm] 1. |
Wenn ich den Hinweis umforme erhalte ich die zweite binomische Formel:
[mm] (f(x)-f(y))^{2} \ge [/mm] 0. Leider weiß ich nicht wie ich nun weiter machen soll. Über einen Tipp würde ich mich freuen.
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Hallo,
> Sei f: [a,b] [mm]\to (0,\infty)[/mm] stetig. Zeigen Sie:
> [mm](\integral_{a}^{b}{f(x) dx})(\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{f(x)} dx}) \ge (b-a)^{2}[/mm]
>
> Hinweis: Benutzen Sie, dass
> [mm]\bruch{1}{2}*(\bruch{f(x)}{f(y)}+\bruch{f(y)}{f(x)}) \ge[/mm]
> 1.
> Wenn ich den Hinweis umforme erhalte ich die zweite
> binomische Formel:
>
> [mm](f(x)-f(y))^{2} \ge[/mm] 0. Leider weiß ich nicht wie ich nun
> weiter machen soll. Über einen Tipp würde ich mich
> freuen.
Wenn du die Ausgangsungleichung mal durch [mm] (b-a)^2 [/mm] dividierst, dann hast du doch links nichts anderes stehen als das Produkt der Mittelwerte der Funktionen f(x) sowie 1/f(x) auf [a;b]. Wenn mich nicht alles täuscht, sollte das zusammen mit dem Hinweis weiterhelfen. Da ich mir nicht ganz sicher bin, stelle ich auf 'teiweise beantwortet'.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:18 Mi 06.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > Sei f: [a,b] [mm]\to (0,\infty)[/mm] stetig. Zeigen Sie:
> > [mm](\integral_{a}^{b}{f(x) dx})(\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{f(x)} dx}) \ge (b-a)^{2}[/mm]
>
> >
> > Hinweis: Benutzen Sie, dass
> > [mm]\bruch{1}{2}*(\bruch{f(x)}{f(y)}+\bruch{f(y)}{f(x)}) \ge[/mm]
>
> > 1.
> > Wenn ich den Hinweis umforme erhalte ich die zweite
> > binomische Formel:
> >
> > [mm](f(x)-f(y))^{2} \ge[/mm] 0. Leider weiß ich nicht wie ich
> nun
> > weiter machen soll. Über einen Tipp würde ich mich
> > freuen.
>
> Wenn du die Ausgangsungleichung mal durch [mm](b-a)^2[/mm]
> dividierst, dann hast du doch links nichts anderes stehen
> als das Produkt der Mittelwerte der Funktionen f(x) sowie
> 1/f(x) auf [a;b]. Wenn mich nicht alles täuscht, sollte
> das zusammen mit dem Hinweis weiterhelfen. Da ich mir nicht
> ganz sicher bin, stelle ich auf 'teiweise beantwortet'.
Hallo Diophant,
damit bekommst Du die Existenz von $s,t [mm] \in [/mm] [a,b]$ mit
$ [mm] (\integral_{a}^{b}{f(x) dx})(\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{f(x)} dx}) =(b-a)^{2} *\bruch{f(s)}{f(t)}$.
[/mm]
Wie man mit dem Hinweis zum Ziel kommen soll, ist mir nicht klar. Vielleicht hab ich Tomaten auf den Augen ....
Gruß FRED
>
>
> Gruß, Diophant
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hiho,
die Ungleichung folgt sofort aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung mit dem Skalarprodukt $<h,g> = \int_a^b h(x) g(x) dx$ und der induzierten Norm.
Setze dafür $h=\sqrt{f}$ und $g=\sqrt{\bruch{1}{f}$
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:57 Di 05.08.2014 | | Autor: | Richie1401 |
Hi Calculu,
[...]
sorry, hier stand Grütze.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 Di 05.08.2014 | | Autor: | fred97 |
Noch eine Möglichkeit:
Setze [mm] $Q:=[a,b]^2$.
[/mm]
Aus $1 [mm] \le \bruch{1}{2}\cdot{}(\bruch{f(x)}{f(y)}+\bruch{f(y)}{f(x)}) [/mm] $ folgt:
(*) [mm] (b-a)^2=\integral_{Q}^{}{1 d(x,y)} \le \bruch{1}{2}* \integral_{Q}^{}{(\bruch{f(x)}{f(y)}+\bruch{f(y)}{f(x)}) d(x,y)}
[/mm]
Mit Fubini ist
[mm] \integral_{Q}^{}{\bruch{f(x)}{f(y)} d(x,y)}=\integral_{Q}^{}{\bruch{f(y)}{f(x)} d(x,y)}=(\integral_{a}^{b}{f(x) dx})*(\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{f(x)} dx})
[/mm]
Mit (*) folgt dann die Behauptung.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:22 Mi 06.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Calculu,
> Sei f: [a,b] [mm]\to (0,\infty)[/mm] stetig. Zeigen Sie:
> [mm](\integral_{a}^{b}{f(x) dx})(\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{f(x)} dx}) \ge (b-a)^{2}[/mm]
>
> Hinweis: Benutzen Sie, dass
> [mm]\bruch{1}{2}*(\bruch{f(x)}{f(y)}+\bruch{f(y)}{f(x)}) \ge[/mm]
> 1.
> Wenn ich den Hinweis umforme erhalte ich die zweite
> binomische Formel:
>
> [mm](f(x)-f(y))^{2} \ge[/mm] 0.
so, wie Du es formulierst, bin ich mir nicht sicher, ob Dir klar war, was das
bringt. Du hast die Behauptung für die "Hilfsformel" ÄQUIVALENT zu einer
Ungleichung umgeformt, die offensichtlich wahr ist. Da das ÄQUIVALENZUMFORMUNGEN
waren, ist diese offensichtlich wahre Ungleichung quasi das Garant dafür,
dass diese behauptete Formel gilt: Denn diese Formel folgt aus der
offensichtlich wahren Ungleichung [mm] $(f(x)-f(y))^2 \ge [/mm] 0$ (die gilt für alle $x,y [mm] \in [/mm] [a,b]$).
Nebenbei: Ich hätte diese so bewiesen (eigentlich ist das auch nichts
anderes als das Obige, es zeigt aber vielleicht, dass da eine nicht ganz
uninteressante allgemeine Ungleichung dahintersteckt):
Für alle $r > [mm] 0\,$ [/mm] gilt
[mm] $(r-1)^2 \ge 0\,,$
[/mm]
was (kurze Rechnung)
[mm] $r+\frac{1}{r} \ge [/mm] 2$
bzw.
[mm] $\frac{1}{2}(r+\tfrac{1}{r}) \ge [/mm] 1$
zur Folge hat. Mit [mm] $r:=f(x)/f(y)\,$ [/mm] folgt (man beachte $f(x) > [mm] 0\,$ [/mm] und $f(y) > [mm] 0\,$ [/mm] für $a [mm] \le [/mm] x,y [mm] \le [/mm] b$)
dann die obige Ungleichung (dafür braucht man die Stetigkeit gänzlich nicht!).
Gruß,
Marcel
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