Ungleichung Normen < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 Di 29.04.2014 | | Autor: | hilbert |
| Aufgabe | | [mm] ||x||_p\le||x||_2^{\bruch{2}{p}}||x||_\infty^{1-\bruch{2}{p}},x\in\mathbb{R},p\ge2 [/mm] |
Das ganze schreit für mich ja ziemlich nach der Hölderungleichung, aber leider bekomme ich es nicht ganz hin.
Folgendes habe ich mir überlegt (Ich weiß es ist nicht viel):
[mm] ||x||_1^2=||x*x||_1\le||x||_p||x||_q [/mm]
Und jetzt versuche ich irgendwie p und q in die richtige Form zu bekommen.
Geht das komplett anders? Wäre über einen Tipp sehr dankbar.
|
|
| |
|
Das kann man direkt ausrechnen. (Ich gehe jetzt mal von Summen aus)
Es gilt:
[mm] ||x||_2^\bruch{2}{p}=\displaystyle\left(\sum_{k=1}^n |x|^2\right)^\bruch{1}{p}
[/mm]
und
[mm] ||x||_\infty^{1-\bruch{2}{p}}=\sup|x_j|^\bruch{p-2}{p}=(\sup|x_j|^{p-2})^\bruch{1}{p}
[/mm]
Jetzt berechne das Produkt 
|
|
|
|
