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| Aufgabe | Beweisen Sie durch vollst. Induktion
[mm]1 + \bruch{n}{2} \le \summe_{k=1}^{2^n} \bruch{1}{k} \le n + \bruch{1}{2} [/mm] |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Der Induktionsanfang is kein Problem. Sowie das Vergleichen des 1. Terms mit dem 3.Term ist nicht schwer
Nur leider weiß ich bei der Aufgabe nicht genau, wie ich die partialsumme von p(n) in p(n+1) überführen soll.
Ob es reicht zu schreiben [mm]\summe_{k=1}^{2^n} \bruch{1}{k} + \summe_{k=2n +1}^{2^n +2^2} \bruch{1}{k} ?? [/mm]
Vielen Dank für die Hilfe.
gruß muh
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Hallo muh!
Du musst hier im Prinzip zwei vollständige Induktionen führen, da Du diese Ungleichheitskette in zwei Ungleichungen zerlegen musst:
$$1 + [mm] \bruch{n}{2} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \summe_{k=1}^{2^n} \bruch{1}{k}$$
[/mm]
[mm] $$\summe_{k=1}^{2^n} \bruch{1}{k} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ n + [mm] \bruch{1}{2}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo muh!
Deine Zerlegung in die beiden Partialsummen stimmt so nicht. Zumindest für die erste Teil-Ungleichung (= linker Teil) hilft folgende Zerlegung weiter:
[mm] $$\summe_{k=1}^{2^{n+1}} \bruch{1}{k} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{2^n} \bruch{1}{k} [/mm] + [mm] \summe_{k=2^n +1}^{2^{n+1}} \bruch{1}{k} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{2^n} \bruch{1}{k} [/mm] + [mm] \summe_{k=2^n +1}^{2*2^n} \bruch{1}{k}$$
[/mm]
Auf den ersten Summanden nun die Induktionsvoraussetzung anwenden; bei der 2. Reihe kannst Du nach unten gegen das Anfangsglied abschätzen.
Für die 2. Induktionshälfte ist mir noch nichts richtiges eingefallen ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") .
Gruß vom
Roadrunner
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wirklich guter ansatz! vllt finde ich bis morgen eine idee für die andere abschätzung
grüße muh
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