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Forum "Analysis des R1" - Ungleichung, Wurzel
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Ungleichung, Wurzel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:22 Do 05.11.2009
Autor: Denny22

Hallo an alle,

ich stehe gerade irgendwie auf'm Schlauch. Gibt es eine Ungleichung der Form (Es seien [mm] $x_1,\ldots,x_m\in\IR$ [/mm] und [mm] $m\in\IN$) [/mm]

[mm] \sum_{i=1}^{m}\left(x_i^2\right)^{\frac{1}{2}}\leqslant C\left(\sum_{i=1}^{m}x_i^2\right)^{\frac{1}{2}} [/mm]

Und wenn ja, wie genau sieht die Konstante $C$ aus?

Danke schon einmal.

        
Bezug
Ungleichung, Wurzel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:25 Do 05.11.2009
Autor: Denny22

Die Ungleichung gilt doch für $C:=m$, oder etwa nicht?

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Bezug
Ungleichung, Wurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:31 Do 05.11.2009
Autor: reverend

Hallo Denny22,

[mm] \sum_{i=1}^{m}\left(x_i^2\right)^{\frac{1}{2}}\red{\geqslant} C\left(\sum_{i=1}^{m}x_i^2\right)^{\frac{1}{2}} [/mm]
gibt's natürlich mit C=1.

Aber umgekehrt? Da vermute ich eher [mm] C=\wurzel{m}, [/mm] nur finde ich im Moment weder Beleg noch Beweis.

lg
reverend


Bezug
        
Bezug
Ungleichung, Wurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:04 Do 05.11.2009
Autor: abakus


> Hallo an alle,
>  
> ich stehe gerade irgendwie auf'm Schlauch. Gibt es eine
> Ungleichung der Form (Es seien [mm]x_1,\ldots,x_m\in\IR[/mm] und
> [mm]m\in\IN[/mm])
>  
> [mm]\sum_{i=1}^{m}\left(x_i^2\right)^{\frac{1}{2}}\leqslant C\left(\sum_{i=1}^{m}x_i^2\right)^{\frac{1}{2}}[/mm]
>  
> Und wenn ja, wie genau sieht die Konstante [mm]C[/mm] aus?

Hallo,
wenn [mm] x_1=1 [/mm] ist und alle anderen [mm] x_i [/mm] Null sind, gilt
[mm]\sum_{i=1}^{m}\left(x_i^2\right)^{\frac{1}{2}}=1*\left(\sum_{i=1}^{m}x_i^2\right)^{\frac{1}{2}}[/mm]

Der Faktor C darf nicht kleiner als 1 sein.
Gruß Abakus

>  
> Danke schon einmal.


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Ungleichung, Wurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:21 Do 05.11.2009
Autor: fred97

Sind [mm] a_1, a_2, [/mm] ..., [mm] a_m, b_1, b_2, [/mm] ..., [mm] b_m \in \IR, [/mm] so gilt die berühmte Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

      (*)  [mm] $\summe_{i=1}^{m}|a_ib_i| \le (\summe_{i=1}^{m}a_i^2)^{1/2}*(\summe_{i=1}^{m}b_i^2)^{1/2}$ [/mm]

Wegen [mm] $(x_i^2)^{1/2}= |x_i|$ [/mm] folgt aus (*) mit [mm] a_i [/mm] = [mm] x_i [/mm] und [mm] b_i [/mm] = 1:

       $ [mm] \sum_{i=1}^{m}\left(x_i^2\right)^{\frac{1}{2}}\leqslant \wurzel{m }\left(\sum_{i=1}^{m}x_i^2\right)^{\frac{1}{2}} [/mm] $



              FRED

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Ungleichung, Wurzel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:25 Do 05.11.2009
Autor: Denny22

Ja genau. Mit Cauchy-Schwarz klappt der Nachweis! Viele Dank.

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Ungleichung, Wurzel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:28 Do 05.11.2009
Autor: reverend

Hallo Fred,

da hätte ich zur Abwechslung auch mal drauf kommen können. [bonk]

lg
reverend

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Ungleichung, Wurzel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:36 Do 05.11.2009
Autor: Denny22

Ich habe mir noch eine zweite Beweismöglichkeit überlegt:

Aus der Monotonie der Wurzelfunktion erhalten wir für [mm] $j=1,\ldots,m$ [/mm] $m$-Ungleichungen

[mm] $0\leqslant\sqrt{x_j^2}\leqslant\sqrt{\sum_{i=1}^{m}x_i^2}$ [/mm]

Addieren wir nun diese $m$-Ungleichungen zusammen, so erhalten wir

[mm] $0\leqslant\sum_{j=1}^{m}\sqrt{x_j^2}\leqslant\sum_{j=1}^{m}\sqrt{\sum_{i=1}^{m}x_i^2}=m\sqrt{\sum_{i=1}^{m}x_i^2}$ [/mm]

Wie man erkennt, erhalten wir hier die Konstante $C=m$. Damit ist die Konstante [mm] $C=\sqrt{m}$ [/mm] (mithilfe von Cauchy-Schwarz) besser.

Bezug
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