Ungleichung Zeigen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:54 Mi 25.04.2012 | | Autor: | Joker08 |
| Aufgabe | Zeigen sie:
[mm] \forall x\in(0,1): \bruch{1}{2}log(\bruch{1+x}{1-x})>x [/mm] |
Okay, also irgendwie soll man dort den Mittelwertsatz anwenden können.
Die Funktion ist aufjendfall differenzierbar.
Nach dem MWS gibt es also ein [mm] c\in(0,1) [/mm] mit
[mm] f´(c)=\bruch{f(1)-f(0)}{1}
[/mm]
Auf deutsch bedeutet dies ja nichts anderes, als das es einen Punkt im offenen intervall gibt, so dass die tangente an einen beliebigen Punkt aus dem Offenen Intervall, die selbe Steigung hat wie die Sekante.
Doch wie soll mir das weiterhelfen ?
Irgendwie fehlt mir da noch die richtige idee :-/
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Hallo,
> Die Funktion ist aufjendfall differenzierbar.
wenn du das schon weißt, dann differnziere auch. 
Im Ernst: betrachte f(0), [mm]\limes_{x\rightarrow{1^{-}}}f(x) [/mm] sowie f'(x) auf dem offenen Intervall (0,1). Das liefert sofort den Nachweis der Ungleichung.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:45 Do 26.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen sie:
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> [mm]\forall x\in(0,1): \bruch{1}{2}log(\bruch{1+x}{1-x})>x[/mm]
>
> Okay, also irgendwie soll man dort den Mittelwertsatz
> anwenden können.
> Die Funktion ist aufjendfall differenzierbar.
>
> Nach dem MWS gibt es also ein [mm]c\in(0,1)[/mm] mit
> [mm]f´(c)=\bruch{f(1)-f(0)}{1}[/mm]
>
> Auf deutsch bedeutet dies ja nichts anderes, als das es
> einen Punkt im offenen intervall gibt, so dass die tangente
> an einen beliebigen Punkt aus dem Offenen Intervall, die
> selbe Steigung hat wie die Sekante.
>
> Doch wie soll mir das weiterhelfen ?
>
> Irgendwie fehlt mir da noch die richtige idee :-/
Setze f(x):= [mm] \bruch{1}{2}log(\bruch{1+x}{1-x})-x [/mm] und zeige dass f'(x)>0 ist für x [mm] \in [/mm] (0,1)
f also auf (0,1) wachsend. Wegen f(0)=0 folgt ???
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:13 Do 26.04.2012 | | Autor: | Joker08 |
Ah danke euch, ich habe es hinbekommen :)
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