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Ungleichung Zeigen: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:54 Mi 25.04.2012
Autor: Joker08

Aufgabe
Zeigen sie:

[mm] \forall x\in(0,1): \bruch{1}{2}log(\bruch{1+x}{1-x})>x [/mm]

Okay, also irgendwie soll man dort den Mittelwertsatz anwenden können.
Die Funktion ist aufjendfall differenzierbar.

Nach dem MWS gibt es also ein [mm] c\in(0,1) [/mm] mit
[mm] f´(c)=\bruch{f(1)-f(0)}{1} [/mm]

Auf deutsch bedeutet dies ja nichts anderes, als das es einen Punkt im offenen intervall gibt, so dass die tangente an einen beliebigen Punkt aus dem Offenen Intervall, die selbe Steigung hat wie die Sekante.

Doch wie soll mir das weiterhelfen ?

Irgendwie fehlt mir da noch die richtige idee :-/

        
Bezug
Ungleichung Zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:37 Do 26.04.2012
Autor: Diophant

Hallo,

> Die Funktion ist aufjendfall differenzierbar.

wenn du das schon weißt, dann differnziere auch. :-)

Im Ernst: betrachte f(0), [mm]\limes_{x\rightarrow{1^{-}}}f(x) [/mm] sowie f'(x) auf dem offenen Intervall (0,1). Das liefert sofort den Nachweis der Ungleichung.


Gruß, Diophant


Bezug
        
Bezug
Ungleichung Zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:45 Do 26.04.2012
Autor: fred97


> Zeigen sie:
>  
> [mm]\forall x\in(0,1): \bruch{1}{2}log(\bruch{1+x}{1-x})>x[/mm]
>  
> Okay, also irgendwie soll man dort den Mittelwertsatz
> anwenden können.
>  Die Funktion ist aufjendfall differenzierbar.
>  
> Nach dem MWS gibt es also ein [mm]c\in(0,1)[/mm] mit
>  [mm]f´(c)=\bruch{f(1)-f(0)}{1}[/mm]
>  
> Auf deutsch bedeutet dies ja nichts anderes, als das es
> einen Punkt im offenen intervall gibt, so dass die tangente
> an einen beliebigen Punkt aus dem Offenen Intervall, die
> selbe Steigung hat wie die Sekante.
>  
> Doch wie soll mir das weiterhelfen ?
>  
> Irgendwie fehlt mir da noch die richtige idee :-/

Setze f(x):= [mm] \bruch{1}{2}log(\bruch{1+x}{1-x})-x [/mm] und zeige dass f'(x)>0 ist für x [mm] \in [/mm] (0,1)

f also auf (0,1) wachsend. Wegen f(0)=0 folgt ???

FRED


Bezug
                
Bezug
Ungleichung Zeigen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:13 Do 26.04.2012
Autor: Joker08

Ah danke euch, ich habe es hinbekommen :)

Bezug
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