Ungleichung "beweisen" < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:42 So 05.02.2006 | | Autor: | AriR |
(frage zuvor nicht gestellt)
Hey Leute, ich hab hier ne recht einfache frage +g+, weiß nur nicht mehr wie man das stren formal zeigen kann :( und zwar:
es soll gezeigt werden: [mm] ln(n)\le [/mm] n für alle n > 0
ich komm einfach nicht drauf, wie man das macht +g+
hoffe einer von euch hat lust, die frage zu benatworten.. gruß Ari
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:54 So 05.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ari!
Soll gelten $n \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IN$ [/mm] ? Dann schreit dieser Nachweis doch förmlich nach vollständiger Induktion.
Betrachte diese Ungleichung aber umgekehrt: $n \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] \ln(n)$
[/mm]
Weiterer Tipp: $1 \ = \ [mm] \ln(e)$ [/mm] sowie  Logarithmusgesetze.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 So 05.02.2006 | | Autor: | AriR |
müsster der induktionsschritt dann ca so aussehen?
[mm] n+1\ge [/mm] ln(n)+1=ln(n)+ln(e)=ln(n*e) ??
wie macht man denn dann weiter :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:27 So 05.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ari!
> [mm]n+1\ge[/mm] ln(n)+1=ln(n)+ln(e)=ln(n*e) ??
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Völlig richtig!
$n*e \ = \ e*n \ [mm] \approx [/mm] \ 2.718*n$
Und eine (natürliche) fast verdreifachen wird doch etwas größer sein, als lediglich $1_$ dazu addieren, oder?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 So 05.02.2006 | | Autor: | AriR |
jo das wäre klar, aber damit hat man doch nur gezeit, dass
[mm] n+1\le [/mm] n*e oder?
das muss aber gar nicht gezeigt werden oder nicht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 So 05.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ari!
Aber aufgrund der Monotonie-Eigenschaft der ln-Funktion (streng monoton steigend) folgt doch auch:
$e*n \ [mm] \ge [/mm] \ n+1$ [mm] $\Rightarrow$ $\ln(e*n) [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] \ln(n+1)$
[/mm]
Und das ist ja genau, was wir als letzten Schritt brauchen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 So 05.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Ari
ich würd das nicht mit Induktiom machen sondern :
[mm] x
oder lnx liegt immer unterhalb seiner Tangente bei 1
also lnx<x-1 (z.Bsp mit Reihe., oder Dgl. für ln. oder dgl für [mm] e^{x}
[/mm]
[mm] e^{x} [/mm] liegt immer über seiner Tangente bei x=0
solche "anschaulichen Vorstellungen helfen sich so einfache Ugleichungen vorzustellen, un gleichzeitig, wie "schlecht sie für große n bzw x sind!
Gruss leduart
|
|
|
|
