Ungleichung beweisen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:05 So 27.07.2008 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Es sei f: [mm] (-\bruch{\pi}{2} [/mm] , [mm] \bruch{\pi}{2}) \to \IR, [/mm] f(x) := -ln(cos(x)).
Zeige, dass |f(x) - [mm] \bruch{x^2}{2}| \le \bruch{2}{3} [/mm] * [mm] |x|^{3}, [/mm] x [mm] \in [-\bruch{\pi}{4} [/mm] , [mm] \bruch{\pi}{4}] [/mm] |
Wie kann dies gezeigt werden?
Ich habs bereits mit Abschätzungen gegen oben versucht, aber ohne Erfolg, denn f(x) geht ja gegen [mm] \infty [/mm] wenn x gegen [mm] \pm\bruch{\pi}{2} [/mm] geht...
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> Es sei f: [mm](-\bruch{\pi}{2}[/mm] , [mm]\bruch{\pi}{2}) \to \IR,[/mm] f(x)
> := -ln(cos(x)).
>
> Zeige, dass [mm]|f(x) - \bruch{x^2}{2}| \le \bruch{2}{3} *
|x|^{3}, x \in [-\bruch{\pi}{4} , \bruch{\pi}{4}][/mm]
> Wie kann dies gezeigt werden?
> Ich habs bereits mit Abschätzungen
Welche Art von Abschätzungen?
> gegen oben versucht,
> aber ohne Erfolg, denn f(x) geht ja gegen [mm]\infty[/mm] wenn x
> gegen [mm]\pm\bruch{\pi}{2}[/mm] geht...
Schon, aber das Intervall, auf dem diese Ungleichung gelten soll, ist ja nur [mm] $[-\pi/4;+\pi/4]$, [/mm] nicht etwa [mm] $[-\pi/2;+\pi/2]$.
[/mm]
Vielleicht kannst Du für diesen Beweis eine Taylorentwicklung von $f$ verwenden. Bei einer Taylorentwicklung kannst Du ja den maximalen Fehler in diesem Intervall [mm] $[-\pi/4;+\pi/4]$ [/mm] abschätzen.
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