Ungleichung beweisen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 Di 27.10.2009 | | Autor: | Maggons |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
Für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] 2^{n} [/mm] > n
a) durch vollständige Induktion
b) mit Hilfe der Bernoulli Ungleichung |
Sehr geehrte Mitglieder der Community,
eigentlich meine ich das ganze relativ gut in den Griff bekommen zu haben.
Ich bin mir jedoch leider sehr unsicher, ob mein Ende richtig ist.
Bei beiden Beweismethoden komme ich letztendlich auf
[mm] 2^{n} \ge [/mm] n , was ja eigentlich nicht gefordert war.
Ich bin mir der Tatsache bewusst, dass das Anhängen als Pic ggf. für euch mühsamer wäre, jedoch möchte ich nur, wenn überhaupt, Hilfe über Prosa erhalten, wieso man das letztendlich so machen darf/ nicht darf.
Dafür wäre ich sehr dankbar.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Mit freundlichen Grüßen
Maggons
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Di 27.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maggons!
Ich verstehe Deine Problem nicht so ganz ... bei der Induktion verwendest Du inmitten der Ungleichheitskette ein echtes "größer als".
Und auch bei der 2. Beweismethode darfst Du doch "echt" abschätzen mit $n+1 \ [mm] \red{>} [/mm] \ n$ .
Damit gilt für beide Ungleichheitsketten in der Summe das strenge "echt größer als".
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Di 27.10.2009 | | Autor: | Maggons |
Hallo Loddar und vielen Dank für deine Antwort,
bei der zweiten Methode bin ich inzwischen einsichtig.
Bei der Beweismethode über Induktion hadere ich jedoch leider noch ein wenig.
Mein Problem ist die Beziehung:
n + n [mm] \ge [/mm] n + 1, wobei du ja sagst, dass ich da "einfach n + n > n + 1" schreiben darf, wenn ich dich richtig verstanden habe.
Mein Problem ist nur, dass man dann doch den Fall, dass n=1 ist nicht berücksichigt .... ?
Oder stehe ich hier wieder irgendwo total auf dem Schlauch .... ?
Ich hoffe du kannst nachvollziehen wieso ich da das [mm] \ge [/mm] dem > vorziehe.
Mit freundlichen Grüßen
Maggons
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Tach,
> Hallo Loddar und vielen Dank für deine Antwort,
>
> bei der zweiten Methode bin ich inzwischen einsichtig.
>
>
> Bei der Beweismethode über Induktion hadere ich jedoch
> leider noch ein wenig.
>
> Mein Problem ist die Beziehung:
>
> n + n [mm]\ge[/mm] n + 1, wobei du ja sagst, dass ich da "einfach n
> + n > n + 1" schreiben darf, wenn ich dich richtig
> verstanden habe.
>
> Mein Problem ist nur, dass man dann doch den Fall, dass n=1
> ist nicht berücksichigt .... ?
>
Überleg' mal, welchen Fall du schon zu Fuß gezeigt hast und nicht mehr bei der Induktion berücksichtigen musst. ;)
> Oder stehe ich hier wieder irgendwo total auf dem Schlauch
> .... ?
>
> Ich hoffe du kannst nachvollziehen wieso ich da das [mm]\ge[/mm] dem
> > vorziehe.
>
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> Maggons
Stefan.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 Di 27.10.2009 | | Autor: | abakus |
> Zeigen Sie:
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> Für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
>
> [mm]2^{n}[/mm] > n
Hallo,
nur eine Zwischenfrage: Die Menge der natürlichen Zahlen wird unterschiedlich definiert.
Manche Definitionen gehen von 1 als kleinster natürlicher Zahl aus, in anderen Definitionen ist Null die kleinste natürliche Zahl.
Wie habt ihr diese Menge definiert? Für n=0 wäre die Aussage nämlich falsch.
Gruß Abakus
>
> a) durch vollständige Induktion
> b) mit Hilfe der Bernoulli Ungleichung
> Sehr geehrte Mitglieder der Community,
>
> eigentlich meine ich das ganze relativ gut in den Griff
> bekommen zu haben.
>
> Ich bin mir jedoch leider sehr unsicher, ob mein Ende
> richtig ist.
>
> Bei beiden Beweismethoden komme ich letztendlich auf
>
> [mm]2^{n} \ge[/mm] n , was ja eigentlich nicht gefordert war.
>
> Ich bin mir der Tatsache bewusst, dass das Anhängen als
> Pic ggf. für euch mühsamer wäre, jedoch möchte ich nur,
> wenn überhaupt, Hilfe über Prosa erhalten, wieso man das
> letztendlich so machen darf/ nicht darf.
>
>
> Dafür wäre ich sehr dankbar.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> Maggons
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Di 27.10.2009 | | Autor: | Maggons |
Hallo und vielen Dank für die Antworten,
zunächst zu Abakus:
bei uns ist in [mm] \IN [/mm] nach Definition die 0 nicht enthalten; diese wird bei Bedarf eingeführt durch die Schreibweise [mm] \IN_{0}.
[/mm]
Das habe ich auch schon überlegt, aber zum Glück ad acta legen können.
Soll ich nun daraus schließen, dass ich aus dem [mm] \ge [/mm] ein > machen "darf", weil ich den Sonderfall, der damit unter den Teppich gekehrt wird, schon vorab bewiesen habe .... ?
Kommt mir halt seltsam vor, weil dann doch A(1) auch mit der Endgleichung erfüllt werden können müsste.
Wie sieht denn dann, wenngleich es schon fast ne blöde Frage ist, letztendlich meine letzte Zeile des Induktionsbeweises aus ... ?
Darf ich stehen lassen:
[mm] 2^{n} \ge [/mm] n unter anbetracht der Tatsache, dass A(1) bereits im IA abgedeckt wird; oder aber soll ich es abändern ... ?
Aber wie wäre die mathematische Begründung dafür ... ?
Sry, dass ich es hier vllt. "ein wenig zu eng sehe".
Mit freundlichen Grüßen
Maggons
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> Hallo und vielen Dank für die Antworten,
>
> zunächst zu Abakus:
>
> bei uns ist in [mm]\IN[/mm] nach Definition die 0 nicht enthalten;
> diese wird bei Bedarf eingeführt durch die Schreibweise
> [mm]\IN_{0}.[/mm]
> Das habe ich auch schon überlegt, aber zum Glück ad acta
> legen können.
>
>
OK.
> Soll ich nun daraus schließen, dass ich aus dem [mm]\ge[/mm] ein >
> machen "darf", weil ich den Sonderfall, der damit unter den
> Teppich gekehrt wird, schon vorab bewiesen habe .... ?
>
> Kommt mir halt seltsam vor, weil dann doch A(1) auch mit
> der Endgleichung erfüllt werden können müsste.
>
Nein. Du willst es für [mm] n\ge [/mm] 2 beweisen!
>
> Wie sieht denn dann, wenngleich es schon fast ne blöde
> Frage ist, letztendlich meine letzte Zeile des
> Induktionsbeweises aus ... ?
>
> Darf ich stehen lassen:
>
> [mm]2^{n} \ge[/mm] n unter anbetracht der Tatsache, dass A(1)
> bereits im IA abgedeckt wird; oder aber soll ich es
> abändern ... ?
> Aber wie wäre die mathematische Begründung dafür ... ?
>
> Sry, dass ich es hier vllt. "ein wenig zu eng sehe".
>
>
In der Mathematik kann man nix eng sehen ;), deine Überlegung ist ja nicht so schlecht, aber diese Abschätzungskette hat ja zwischendurch sowieso nichts mehr mit der eigentlichen Ungleichung zu tun, es ist ja auch eine Abschätzung!
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> Maggons
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:42 Di 27.10.2009 | | Autor: | Maggons |
Alles klar, dann vielen Dank an alle Beteiligten.
So lasse ich den Beweis nun also genau so, wie ich ihn hochgeladen habe und nehme das mit den Relationszeichen so hin.
Nochmals vielen Dank.
Mit freundlichen Grüßen und noch einen schönen Abend wünschend
Maggons
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