Ungleichung beweisen < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:39 Mo 26.04.2010 | | Autor: | Katrin89 |
| Aufgabe | http://www.ifam.uni-hannover.de/~muenzenm/Lehre/NumaI/ue080901.pdf
Aufgabe 1.3 |
Guten Abend,
ich hatte mir überlegt, dass Ganze über die Maximumsnorm mit der Dreiecksungleichung abzuschätzen. Ab da komme ich aber nicht weiter. Kann mir jemand helfen?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Sa 01.05.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
sei r(x)=f(x)-p(x)
und p(x) ist das lineare Polynom mit [mm] p(x_i)=f(x_i) [/mm] und [mm] p(x_{i+1})=f(x_{i+1}) [/mm] und sei
[mm] K(t)=r(t)-\bruch{r(x)}{(x-x_i)*(x-x_{i+1})}*(t-x_i)*(t-x_{i+1}) [/mm] dann gilt
[mm] K(x_i)=K(x_{i+1})=0 [/mm] und K(x)=0
D.h. K besitzt also mindestens 3 verschiedene Nullstellen in [mm] [x_i,x_{i+1}]. [/mm] Nach dem Satz von Rolle besitzt also K' mindestens zwei verschiedene Nullstellen in [mm] [x_i,x_{i+1}] [/mm] und K'' also mindestens eine Nullstelle [mm] \xi \in [x_i,x_{i+1}], [/mm] d.h.
[mm] K''(\xi)=f''(\xi)-\bruch{r(x)}{(x-x_i)*(x-x_{i+1})}*2=0 [/mm] also
[mm] r(x)=\bruch{1}{2}*f''(\xi)*(x-x_i)*(x-x_{i+1})
[/mm]
Der Ausdruck [mm] (x-x_i)*(x-x_{i+1}) [/mm] hat sein Minimum bei [mm] \bruch{x_i+x_{i+1}}{2}
[/mm]
Daraus folgt die gewünschte Abschätzung
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:05 Mo 03.05.2010 | | Autor: | Katrin89 |
Super, danke für deine Hilfe!
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